Archivo de la categoría: Selectividad Mat II

Problema 1156

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Áreas por integración, Dominios, funciones, Integral racional, Integrales indefinidasdurán

Se da la función real f definida por $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}$ . Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) La integral $\int f(x)~dx$ , así como la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2,0).
c) El área de la región limitada por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0,~x=2,~x=4$ .

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Problema 1155

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IICondición de paralelismo, Distancias, Haz de planos, rectas y planosdurán

Sea la recta $r:~\frac{x-1}1=\frac{y+1}1=\frac z{-1}$ y los puntos $P=(1,0,0)\text{ y }Q=(2,1,\alpha)$ . Obtener:

a) El valor de α para que la recta que pasa por P y Q sea paralela a r.
b) La ecuación del plano que contiene a P y Q y es paralelo a r, cuando α=1.
c) La distancia del punto Q al plano que pasa por P y es perpendicular a r, cuando α=1.

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Problema 1154

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIRegla de Cramer, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-Fröbeniusdurán

Dado el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{array}{rl}x+y+az&=1\\x+ay+z&=1\\ax+y+z&=-2\end{array}\right.$ , siendo a un parámetro real, obtener:

a) El estudio del sistema en función del parámetro a.
b) Las soluciones del sistema cuando a=-2.
c) La solución del sistema cuando a=0.

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Problema 1153

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funcionesdurán

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

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Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$ encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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Problema 1152

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIPosiciones relativas, rectas y planosdurán

Considerar la recta r de ecuación $\frac{x-1}2=\frac{y-3}{-2}=\frac z1$ y la recta s que pasa por el punto $P=(2,-5,1)$ y que tiene por vector director (-1,0,-1).

a) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s.
b) Calcular la ecuación general del plano que es paralelo a la recta r y contiene a la recta s.

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Problema 1151

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Test de la derivada segundadurán

Sea la función $f(x)=\dfrac1x\cdot\ln(x)$ , en la que ln indica el logaritmo neperiano, definida para x> 0.

a) Calcular las coordenadas del punto de la curva $y=f(x)$ en que la recta tangente a la curva en este punto es horizontal. Estudiar si este punto es un extremo relativo y clasificarlo.
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $y=f(x)$ , las rectas verticales x=1 y x=e, y el eje de abscisas.

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Problema 1150

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIsistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-Fröbeniusdurán

Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$\left\{\begin{array}{rl}ax+y&=a\\x+ay+z&=5\\x+2y+z&=5\end{array}\right.$

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para el caso a=2.

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Problema 1149

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva $y=4-x^2$ de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

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a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función $f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}$ nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problema 1148

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IImatrices y determinantes, Propiedades de los determinantes, Rangos de matricesdurán

Sea $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&a&1\end{pmatrix}$ , donde a es un parámtro real.

a) Determinar el rango de la matriz A en función del parámetro a.
b) Comprobar que el determinante de $A^2+A$ es 0.

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Problema 1147

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Puntos de corte, Representación de funcionesdurán

Considerar la función $f(x)=x^3$ .

a) Calcular en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a f es paralela a la recta $3x-y=4$ . Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función y de las dos rectas.
b) Calcular el área de la región delimitada por f y la recta $y=3x+2$ .

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Problemas de selectividad resueltos