Archivo de la categoría: Selectividad Mat II

Problema 1261

📖Probabilidad, Selectividad Mat IIProbabilidad, Probabilidad condicionada, Sucesos independientesdurán

En una determinada población, el 40 % de los individuos lee diariamente la prensa y el 75 % ve diariamente las noticias en la televisión. Además, el 25 % de los individuos lee la prensa y ve las noticias en la televisión diariamente.

a) ¿Son independientes los sucesos ”leer diariamente la prensa” y ”ver diariamente las noticias en la televisión”?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo lea la prensa diariamente pero no vea las noticias en la televisión?
c) Si un individuo lee la prensa diariamente, ¿cuál es la probabilidad de que
también vea las noticias en la televisión?

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Problema 1260

📖Probabilidad, Selectividad Mat IIDistribución binomial, Probabilidaddurán

Una urna tiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas. Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que se obtienen al repetir nueve veces el siguiente experimento: se saca una bola de la urna y, después de anotar el color, se devuelve la bola a la urna.

a) ¿Qué tipo de distribución sigue dicha variable aleatoria y cuáles son sus parámetros?
b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas anotado sea menor o igual que 4?

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Problema 1259

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, Posiciones relativas, rectas y planosdurán

Considere la recta r y el plano π dados por las siguientes ecuaciones:

$r:~\dfrac{x+1}2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-1}0\qquad\pi:~x-2y-z=4$

a) Estudie la posición relativa de la recta y el plano.
b) En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso contrario, calcule la distancia entre la recta y el plano.
c) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

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Problema 1258

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIBaricentro, Medianas, rectas y planosdurán

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

a) Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo de vértices A = (−1, 2, 3), B = (3, −4, 1) y C = (1, −4, 5).
b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto.

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Problema 1257

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Integración con cambio de variable, Integral racional, Integrales indefinidasdurán

a) Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}~dx$ .

b) Determine el área del recinto limitado por el eje OX, la gráfica de la función $f(x)=\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}$ y la recta vertical x=1.

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Problema 1256

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, optimizacióndurán

De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 4 metros, determine las dimensiones de aquel cuya área es máxima. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

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Problema 1255

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IIEcuaciones matriciales, matrices y determinantes, Matriz inversadurán

Considere las matrices

$A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}$

a) Compruebe que las matrices A y B son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.
b) Resuelva la ecuación matricial $AXB=A^t-3B$ , donde $A^t$ denota la matriz
traspuesta de A.

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Problema 1254

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIRegla de Cramer, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-Fröbeniusdurán

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+a^2y-z&=3-a\\x-y+az&=1\end{array}\right.$

a) Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a = 0.
b) Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.

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Problema 1253

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Función a trozos, funciones, Representación de funcionesdurán

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$f(x)=\text{sen}(\pi x)\qquad g(x)=|x^2-x|$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

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Problema 1252

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Teorema de Rolledurán

Sea la función $f(x)=(x+3)^{\text{sen}(\pi x)}\ln(x^2-x+2)$ .

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [-1,0].
b) Demuestra que existe $\alpha\in(-1,0)$ tal que $f'(\alpha)=-\ln2$ . Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

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Problemas de selectividad resueltos