Archivo de la categoría: Algebra II

Problema 1500

📖Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIMatriz inversa, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-Fröbeniusdurán

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}a&0&-1\\-1&0&0\\0&1&a\end{pmatrix},~a\in\mathbb R$ y $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

a) Escribe el sistema de ecuaciones $AX=X$ en la forma $BX=0$ .
b) Estudia para qué valores de a el sistema tiene infinitas soluciones.
c) Para a = 0 calcula, si existe, la inversa de A.

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Problema 1499

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIRegla de Cramer, sistemas de ecuacionesdurán

Un operador turístico vende a las agencias locales viajes concertados al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia. A una primera agencia A le vende 10 viajes al Caribe, 10 a las Maldivas y 10 a Tailandia, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia B le vende 10 viajes al Caribe y 20 a Tailandia, cobrando por todo ello 13.000 euros. Y a una tercera agencia C le vende 10 viajes al Caribe y 10 a las Maldivas, cobrando por todo ello 7.000 euros. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos. Y calcula, si es posible, dicho precio.
b) Si le obligasen a rebajar un 20 % el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería?
c) ¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 % del viaje al Caribe y ası́ recaudar el mismo dinero? (se mantiene el precio del viaje a Tailandia).

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Problema 1496

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IIEcuaciones matriciales, matrices y determinantes, Matriz inversa, Rangos de matricesdurán

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}-1&2&m\\0&m&0\\2&1&m^2+1\end{pmatrix}$ , se pide:

a) Obtened el rango de la matriz en función del parámetro m.
b) Explicad cuándo la matriz A es invertible.
c) Resolved la ecuación $XA=I$ donde I es la matriz identidad en el caso m=1.

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Problema 1493

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIRegla de Cramer, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-Fröbeniusdurán

Dado el sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{rl}x+y+(a+1)z&=2\\x+(a-1)y+2z&=1\\2x+ay+z&=-1\end{array}\right.$

a) Estudiadlo en función de los valores del parámetro real a.
b) Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

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Problema 1487

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IIMatrices por recurrencia, Sistema de ecuaciones matricialdurán

a) Resuelva el siguiente sistema matricial

$\left\{\begin{array}{l}2X+3Y=\begin{pmatrix}-1&2\\3&7\end{pmatrix}\\\\3X-2Y=\begin{pmatrix}5&3\\-2&4\end{pmatrix}\end{array}\right.$

b) Calcule $\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}^n,~n\in\mathbb N$ .

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Problema 1486

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IImatrices y determinantes, Propiedades de los determinantes, Regla de Cramer, sistemas de ecuacionesdurán

a) Sabiendo que $\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=5$ , calcule justificadamente $\begin{vmatrix}2d&2e+2f&2f\\-g&-h-i&-i\\a&b+c&c\end{vmatrix}$ .

b) Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\2&2&2\\2&0&0\end{pmatrix}$ , resuelva el sistema $\left(A-\frac12A^t\right)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\9\\5\end{pmatrix}$ , donde $A^t$ es la matriz traspuesta de A.

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Problema 1485

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IImatrices y determinantes, Matriz inversa, Rangos de matricesdurán

Dada la siguiente matriz:

$A=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}$

a) Estudie el rango de la matriz $A-kI$ según los valores de $k\in\mathbb R$ , donde I es la matriz identidad de orden 3.
b) Calcule la inversa de $A-kI$ para k=0.

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Problema 1466

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IImatrices y determinantes, Matriz inversadurán

Sea la matriz

$A=\begin{pmatrix}2&3&\alpha\\1&\alpha&1\\0&\alpha&-1\end{pmatrix}$

a) Determinar para qué valores del parámetro $\alpha$ la matriz A no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A para $\alpha=2$ .