Archivo de la categoría: Análisis matemático II

Problema 1156

Se da la función real f definida por f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}. Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) La integral \int f(x)~dx, así como la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2,0).
c) El área de la región limitada por la curva y=f(x) y las rectas y=0,~x=2,~x=4.

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Problema 1153

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

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Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función f(x)=x^3-3x^2+2x+1 encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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Problema 1151

Sea la función f(x)=\dfrac1x\cdot\ln(x), en la que ln indica el logaritmo neperiano, definida para x> 0.

a) Calcular las coordenadas del punto de la curva y=f(x) en que la recta tangente a la curva en este punto es horizontal. Estudiar si este punto es un extremo relativo y clasificarlo.
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva y=f(x), las rectas verticales x=1 y x=e, y el eje de abscisas.

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Problema 1149

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva y=4-x^2 de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

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a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4} nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problema 1147

Considerar la función f(x)=x^3.

a) Calcular en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a f es paralela a la recta 3x-y=4. Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función y de las dos rectas.
b) Calcular el área de la región delimitada por f y la recta y=3x+2.

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Problema 1142

Trazamos la recta tangente a la función f(x)=\dfrac1{x^2}+1 por un punto P=(a,f(a)) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

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a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de a, viene dada por la función

g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}.

b) ¿En qué punto P el área del triángulo es mínimo? Calcula dicho valor mínimo.

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