Archivo de la categoría: Análisis matemático II

Problema 1849

Para la siguiente función:

f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}

a) Obtén el dominio de definición y estudia su crecimiento y decrecimiento.
b) Analiza la curvatura (concavidad = \cap y convexidad = \cup) y existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtén los puntos de inflexión caso de existir.

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Problema 1840

a) Calcule los límites \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x\cos x}{\text{sen}\,x} y \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}x\ln x, donde \ln x es el logaritmo neperiano de x.

b) Dibuje la gráfica de una función f continua y no negativa en el intervalo [0,3] tal que: f(0)=0,~f(3)=0,~f''>0 en el intervalo (0,1), f''<0 en el intervalo (2,3) y f es constante en el intervalo (1,2).

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Problema 1837

Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m. de longitud.

a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor x que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo.
b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima.

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Problema 1836

Consideramos la función f(x)=\frac{x^2+3}{x^2-4}. Obtener:

a) El dominio y los puntos de corte con los ejes.
b) Las asíntotas de la función.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos.
d) La primitiva de la función f(x).

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Problema 1829

Sea f(x)=\dfrac x{x^2+1}.

a) Compruebe si f(x) verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo [1, 1].
b) Calcule y clasifique los extremos relativos de f(x) en \mathbb R.
c) Determine el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) y el eje OX en el intervalo [1, 1].

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