Archivo de la categoría: Análisis matemático II

Problema 1257

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Integración con cambio de variable, Integral racional, Integrales indefinidasdurán

a) Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}~dx$ .

b) Determine el área del recinto limitado por el eje OX, la gráfica de la función $f(x)=\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}$ y la recta vertical x=1.

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Problema 1256

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, optimizacióndurán

De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 4 metros, determine las dimensiones de aquel cuya área es máxima. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

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Problema 1253

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Función a trozos, funciones, Representación de funcionesdurán

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$f(x)=\text{sen}(\pi x)\qquad g(x)=|x^2-x|$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

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Problema 1252

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Teorema de Rolledurán

Sea la función $f(x)=(x+3)^{\text{sen}(\pi x)}\ln(x^2-x+2)$ .

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [-1,0].
b) Demuestra que existe $\alpha\in(-1,0)$ tal que $f'(\alpha)=-\ln2$ . Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

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Problema 1249

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Teorema de Rolledurán

Sea la función $f(x)=\left(1+\text{sen}\dfrac{\pi x}2\right)^x$ .

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [0,2].
b) Demuestra que existe $\alpha\in(0,2)$ tal que $f'(\alpha)=0$ . Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

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Problema 1248

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, Indeterminaciones, límitesdurán

Calcula los siguientes límites

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1}\left(2+\text{sen}\dfrac{3\pi x}2\right)^{\frac1{x^2-x}}\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}\right)$

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Problema 1238

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Función a trozos, funciones, Representación de funcionesdurán

Calcular el área del recinto limitado por las rectas $x=-2,~x=2$ , el eje OX y la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2&\text{si}&x<0\\x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

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Problema 1237

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Recta tangentedurán

Determinar los valores de los parámetros reales a y b para que las funciones $f(x)=ax^2+b$ y $g(x)=x^2+x+a$ , sean tangentes en el punto de abscisa $x=-1$ . Para los valores obtenidos de a y b, calcular la recta tangente a las curvas en $x=-1$ .

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Problema 1236

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, límites, Regla de L'Hôpitaldurán

a) Calcular el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1-\text{sen}x\cos x}{1+\text{sen}x\cos x}\right)^{\frac1{\text{sen}x}}$