Archivo de la categoría: Análisis matemático II

Problema 1452

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Representación de funcionesdurán

Sean las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=\sqrt x$ .

a) Representar la región plana delimitada por las gráficas de las funciones f y g en el intervalo [0,2].
b) Calcular el área de la región anterior.

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Problema 1451

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfunciones, Integral racionaldurán

Calcular la integral racional

$\displaystyle\int\dfrac{3x}{x^2+x-2}~dx$

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Problema 1450

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Teorema de Bolzanodurán

Demostrar que las gráficas de las funciones $f(x)=2-x^2$ y $g(x)=e^x$ se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encontrar un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razonar las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen.

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Problema 1449

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funciones, Monotonía, Punto de inflexión, Puntos críticosdurán

Estudiar asíntotas, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos y puntos de inflexión de la función $f(x)=e^{-x^2}$ .

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Problema 1432

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfunciones, Integrales definidas, Recta tangentedurán

Considera la función $F:~[0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ definida por

$\displaystyle F(x)=\int_0^x(2t+\sqrt t)~dt$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x=1.

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Problema 1431

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Monotonía, Representación de funcionesdurán

Considera la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=4x^3-x^4$ .

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
b) Esboza la gráfica de f y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

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Problema 1430

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, Función a trozos, funciones, Recta tangentedurán

Considera la función continua $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ definida por

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(3x-6)e^x&\text{si}&x\leq0\\\\\dfrac{36(\text{sen}(x)-ax)}{x^3}&\text{si}&x>0\end{array}\right.$

a) Calcula a.
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa $x=-1$ .

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Problema 1429

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funcionesdurán

Se sabe que la gráfica de la función f definida por $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+2}{x-1}$ (para $x\neq1$ ) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto (1,1) y tiene pendiente 2. Calcula a y b.

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Problema 1416

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, integrales, Integrales indefinidas, límitesdurán

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

a) Calcule $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$ .
b) Calcule la integral indefinida $\int x^2\ln(x)~dx$ . Determine la primitiva de la función $f(x)=x^2\ln(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas (1,0).

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Problema 1415

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, optimización, Puntos críticos, Test de la derivada segundadurán

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².

a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por $10\pi x^2+6\pi xy$ .
b) Si el volumen de la lata es $90\pi$ cm³ , determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

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