Archivo de la categoría: Análisis matemático II

Problema 1747

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIDerivadas, integrales, Integrales indefinidas, Método de integración por partes, Regla de BarroweMatecs

Considere la función $f(x)=(x+10)e^{2x}$ .

a) Calcule una primitiva $F(x)$ tal que $F(0)=0$ . Use la derivada para comprobar su solución.
b) Calcule $\int_0^5f(x)~dx$ .

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Problema 1744

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funciones, Integral racional, Integrales definidas, Monotonía, Puntos críticoseMatecs

Considere la función:

$f(x)=\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$

a) Determine las asíntotas de la función, si existen.
b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.
c) Determine la integral $\int_1^3f(x)~dx$ .

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Problema 1740

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, Integral racional, límites, Puntos críticos, Test de la derivada segundaeMatecs

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), donde a > 0 y b > 0 y además el punto (a, b), está situado en la curva de ecuación:

$y=\dfrac1{x^2}+9$

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine:

$\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx$

c) Determine el valor de la constante k para que se verifique que:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=2$

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Problema 1734

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Puntos de corteeMatecs

Dadas las funciones $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$ y $g(x)=\dfrac{x^2}2$ con $x\in\mathbb R$ .

a) Encuentra razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de las funciones f y g.
b) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones f y g.

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Problema 1733

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIlímites, Regla de L'HôpitaleMatecs

Calcula razonadamente los siguientes límites:

$\displaystyle a)~\lim_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{2e^{x-1}}{x+1}\right)^{\frac x{x-1}}\qquad b)\lim_{x\rightarrow-1}\dfrac{-e^{x^2-1}-x}{x^2+4x+3}$

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Problema 1729

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Recta normaleMatecs

a) Calcula razonadamente el área de los recintos limitados por la función $g(x)=-x^2+2x+3$ , la recta x=−2 y el eje de abscisas.

b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función g en el punto de abscisa x = 4.

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Problema 1728

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Teorema de RolleeMatecs

a) Determina el valor de a y de b para que la siguiente función f sea derivable en todo $\mathbb R$

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+bx+2&\text{si}&x\leq1\\\\a\sqrt x-\dfrac b{x^2}&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

b) Comprueba si la función $f(x)=x^2-4$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−3, 3].

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Problema 1724

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Función a trozos, funcioneseMatecs

Dada la siguiente expresión de la función f, de la que se desconocen algunos valores:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a-x&\text{si}&x\leq1\\\\\dfrac bx-\ln x&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

Calcular los valores de a y b para que f sea derivable en todo su dominio.
Escribir la función resultante.

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Problema 1720

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, optimización, Puntos críticos, Test de la derivada segundaeMatecs

Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.

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