Archivo de la categoría: Análisis matemático II

Problema 1156

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Áreas por integración, Dominios, funciones, Integral racional, Integrales indefinidasdurán

Se da la función real f definida por $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}$ . Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) La integral $\int f(x)~dx$ , así como la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2,0).
c) El área de la región limitada por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0,~x=2,~x=4$ .

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Problema 1153

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funcionesdurán

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

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Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$ encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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Problema 1151

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Test de la derivada segundadurán

Sea la función $f(x)=\dfrac1x\cdot\ln(x)$ , en la que ln indica el logaritmo neperiano, definida para x> 0.

a) Calcular las coordenadas del punto de la curva $y=f(x)$ en que la recta tangente a la curva en este punto es horizontal. Estudiar si este punto es un extremo relativo y clasificarlo.
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $y=f(x)$ , las rectas verticales x=1 y x=e, y el eje de abscisas.

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Problema 1149

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva $y=4-x^2$ de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

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a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función $f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}$ nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problema 1147

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Puntos de corte, Representación de funcionesdurán

Considerar la función $f(x)=x^3$ .

a) Calcular en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a f es paralela a la recta $3x-y=4$ . Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función y de las dos rectas.
b) Calcular el área de la región delimitada por f y la recta $y=3x+2$ .

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Problema 1145

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funciones, Máximos y mínimosdurán

Considerar la función $f(x)=\dfrac{ax^2+b}x$ , donde a y b son dos parámetros reales. Calcular los valores de a y b de manera que la función f tenga una asíntota oblicua de pendiente 1 y un mínimo en el punto de la gráfica de abscisa x=2.

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Problema 1142

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Trazamos la recta tangente a la función $f(x)=\dfrac1{x^2}+1$ por un punto $P=(a,f(a))$ del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

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a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de a, viene dada por la función

$g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}$ .

b) ¿En qué punto P el área del triángulo es mínimo? Calcula dicho valor mínimo.

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Problema 1139

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIIntegral racional, integrales, Integrales indefinidasdurán

Sea f la función dada por $f(x)=\dfrac{3x^2+4}{(x-2)^2}$ para $x\neq2$ .

a) Calcula $\int f(x)~dx$ .
b) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (3,5).

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Problema 1138

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIExtremos relativos, funciones, Puntos críticos, Recta normal, Recta tangentedurán

Sea $f:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb R$ la función definida por $f(x)=\dfrac{\text{sen}\,x}{2-\cos x}$ .

a) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa $x=\frac\pi3$ .

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Problema 1135

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Integración por partesdurán

Calcula a>0 sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $f(x)=xe^{3x}$ , el eje de abscisas y la recta $x=a$ vale 1/9.

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