Archivo de la categoría: Aplicaciones de la integral II

Problema 1156

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Áreas por integración, Dominios, funciones, Integral racional, Integrales indefinidasdurán

Se da la función real f definida por $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}$ . Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) La integral $\int f(x)~dx$ , así como la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2,0).
c) El área de la región limitada por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0,~x=2,~x=4$ .

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Problema 1153

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funcionesdurán

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

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Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$ encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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Problema 1151

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Test de la derivada segundadurán

Sea la función $f(x)=\dfrac1x\cdot\ln(x)$ , en la que ln indica el logaritmo neperiano, definida para x> 0.

a) Calcular las coordenadas del punto de la curva $y=f(x)$ en que la recta tangente a la curva en este punto es horizontal. Estudiar si este punto es un extremo relativo y clasificarlo.
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $y=f(x)$ , las rectas verticales x=1 y x=e, y el eje de abscisas.

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Problema 1147

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Puntos de corte, Representación de funcionesdurán

Considerar la función $f(x)=x^3$ .

a) Calcular en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a f es paralela a la recta $3x-y=4$ . Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función y de las dos rectas.
b) Calcular el área de la región delimitada por f y la recta $y=3x+2$ .