Archivo de la categoría: Aplicaciones de la integral II

Problema 1156

Se da la función real f definida por f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}. Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) La integral \int f(x)~dx, así como la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2,0).
c) El área de la región limitada por la curva y=f(x) y las rectas y=0,~x=2,~x=4.

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Problema 1153

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

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Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función f(x)=x^3-3x^2+2x+1 encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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Problema 1151

Sea la función f(x)=\dfrac1x\cdot\ln(x), en la que ln indica el logaritmo neperiano, definida para x> 0.

a) Calcular las coordenadas del punto de la curva y=f(x) en que la recta tangente a la curva en este punto es horizontal. Estudiar si este punto es un extremo relativo y clasificarlo.
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva y=f(x), las rectas verticales x=1 y x=e, y el eje de abscisas.

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Problema 1147

Considerar la función f(x)=x^3.

a) Calcular en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a f es paralela a la recta 3x-y=4. Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función y de las dos rectas.
b) Calcular el área de la región delimitada por f y la recta y=3x+2.

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