Archivo de la categoría: Aplicaciones de la integral II

Problema 866

a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x^2+ax&\text{si}&x<1\\bx+c&\text{si}&x\geq1\end{array}\right.

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2] y calcula el punto en el que se cumple el teorema.

b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x^2-2x y la recta y=x. (Para dibujar la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y la concavidad y convexidad).

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Problema 858

a) Calcula: intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de f(x)=\dfrac{x-1}{x^2}.

b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x^2-4x y la recta y=x-4. (Para representar la parábola indica: puntos de corte con los ejes, vértice y curvatura).

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Problema 850

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de la función f(x)=x^2\ln x.
b) Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen O(0,0) y el punto P(1,3), uno de sus lados está sobre el eje x y otro sobre la tangente en P(1,3) a la gráfica de la parábola y=4-x^2. Se pide calcular las coordenadas del tercer vértice, dibujar el triángulo y calcular, por separado, el área de las dos regiones en las que el triángulo queda dividido por la parábola y=4-x^2.

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Problema 842

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Mediante integración por partes, demuestra que \int\ln x~dx=x(\ln x-1)+C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación.
b) Si f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right., di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.
c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right..

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Problema 768

Sea la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R dada por f(x)=xe^{-x^2}.

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados y los extremos relativos de f (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina a>0 de manera que sea \dfrac14 el área del recinto determinado por la gráfica de f en el intervalo [0,a] y el eje de abscisas.

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