Archivo de la categoría: Estudio de funciones II

Problema 1751

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, Función a trozos, funciones, Integrales definidas, Máximos y mínimos, Puntos críticoseMatecs

Sea la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\text{sen}(x)}{2x}&\text{si}&x<0\\\\\dfrac{a-x^2}{2+x}&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Determine, si existe, el valor de a que haga a la función continua en x=0.
b) Calcule el valor de a para que f tenga un extremo relativo en x=2. ¿Es este extremo un máximo o mínimo local?
c) Sea $g(x)$ una función integrable, si $\int_0^3g(x)~dx=4$ y $\int_2^3g(x)~dx=6$ . ¿Cuánto vale $\int_0^2g(x)~dx$ ?

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Problema 1744

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funciones, Integral racional, Integrales definidas, Monotonía, Puntos críticoseMatecs

Considere la función:

$f(x)=\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$

a) Determine las asíntotas de la función, si existen.
b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.
c) Determine la integral $\int_1^3f(x)~dx$ .

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Problema 1740

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, Integral racional, límites, Puntos críticos, Test de la derivada segundaeMatecs

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), donde a > 0 y b > 0 y además el punto (a, b), está situado en la curva de ecuación:

$y=\dfrac1{x^2}+9$

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine:

$\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx$

c) Determine el valor de la constante k para que se verifique que:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=2$

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Problema 1734

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Puntos de corteeMatecs

Dadas las funciones $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$ y $g(x)=\dfrac{x^2}2$ con $x\in\mathbb R$ .

a) Encuentra razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de las funciones f y g.
b) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones f y g.

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Problema 1729

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Recta normaleMatecs

a) Calcula razonadamente el área de los recintos limitados por la función $g(x)=-x^2+2x+3$ , la recta x=−2 y el eje de abscisas.

b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función g en el punto de abscisa x = 4.

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Problema 1728

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Teorema de RolleeMatecs

a) Determina el valor de a y de b para que la siguiente función f sea derivable en todo $\mathbb R$

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+bx+2&\text{si}&x\leq1\\\\a\sqrt x-\dfrac b{x^2}&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

b) Comprueba si la función $f(x)=x^2-4$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−3, 3].

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Problema 1724

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Función a trozos, funcioneseMatecs

Dada la siguiente expresión de la función f, de la que se desconocen algunos valores:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a-x&\text{si}&x\leq1\\\\\dfrac bx-\ln x&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

Calcular los valores de a y b para que f sea derivable en todo su dominio.
Escribir la función resultante.

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Problema 1585

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, funciones, Teorema del valor medio de LagrangeeMatecs

Sea la función $f(x)=\ln\left(\dfrac{5x-2-x\cdot\text{sen}\frac{\pi x}2}{x^2-4x+6}\right).$

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3].
b) Demuestra que existe $\alpha\in(1,3)$ tal que $f'(\alpha)=\frac32\ln2$ . Enuncia los resultados teóricos utilizados, y justifica su uso.

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Problema 1584

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Dominios, funcioneseMatecs

Calcula las asíntotas de esta función y estudia la posición de la curva respecto a ellas:

$f(x)=\dfrac{x^3-4x-1}{x^2-4}$

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Problema 1583

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad, funciones, Teorema de los Valores IntermedioseMatecs

Sea la función $f(x)=(x^2-3x+10)^{\log[2^{x-1}\cdot\text{sen}\frac{\pi(x+2)}6]}.$

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3].
b) Demuestra que existe $\alpha\in(1,3)$ tal que $f(\alpha)=\frac32$ . Enuncia los resultados teóricos utilizados, y justifica su uso.

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