Archivo de la categoría: Estudio de funciones II

Problema 1204

Dada la función:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac3{x-2}&\text{si}&x<2\\\\\cos(\pi x)&\text{si}&2\leq x\leq3\\\\\dfrac{\ln(x-2)}{3-x}&\text{si}&x>3\end{array}\right.

a) Determina razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcula los puntos en los que es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad, si los hubiera.
b) Calcula razonadamente el siguiente límite: \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{xe^{-x}}{1+2x-\cos(x^2)}.

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Problema 1189

Sea la función f(x)=4-x^2.

a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado D. Calcula su área.
b) La gráfica de la función g(x)=3x^2 divide D en tres partes D_1,\,D_2,\,D_3. Haz un dibujo de los tres recintos.
c) Calcular el área del recinto D_2 que contiene al punto P(0,1).

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Problema 1188

Sea la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R, f(x)=x^3-6x^2+9x.

a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.

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Problema 1169

Dadas las funciones f(x)=x^3+3x^2-1\text{ y }g(x)=6x, se pide:

a) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) con pendiente mínima.
c) Calcular \displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}{g(x)}~dx.

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Problema 1156

Se da la función real f definida por f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}. Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) La integral \int f(x)~dx, así como la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2,0).
c) El área de la región limitada por la curva y=f(x) y las rectas y=0,~x=2,~x=4.

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Problema 1153

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

p1153

Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función f(x)=x^3-3x^2+2x+1 encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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