Archivo de la categoría: Integral indefinida y definida II

Problema 886

Dada la función f(x)=\dfrac x{1+|x|}:

a) Estudia, en x=0, la continuidad y derivabilidad de f.
b) Determina los puntos de la gráfica de f en que la recta tangente es paralela a la recta x-4y=0 y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c) Calcula \int_{-1}^0f(x)~dx.

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Problema 882

a) Calcula:

  1. \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}
  2. \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}

b) La derivada de una función f, que tiene dominio (0,∞), es f'(x)=1+\ln x. Determina la función f teniendo en cuenta que su gráfica pasa por el punto (1,4).

c) Determina, si existen, los máximos y los mínimos relativos de f.

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Problema 878

a) Calcula los valores de a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+b&\text{si}&x<3\\\ln(x-2)&\text{si}&x\geq3\end{array}\right. sea derivable en x=3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta x+3y=0.

b) Si P(x) es un polinomio de tercer grado, con punto de inflexión en el punto (0,5) y un extremo relativo en el punto (1,1), calcula \int_0^1P(x)~dx.

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Problema 874

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.

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Problema 870

a) Calcula, si existe, el valor de m para que \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}=3.

b) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x)=ax^3+bx^2+cx+d tenga un punto de inflexión en el punto (0,5) y la tangente a la gráfica en el punto (1,1) sea paralela al eje x.

c) Calcula \int_1^e\sqrt x\ln x~dx.

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Problema 862

a) Calcula a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right. sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta 2x+3y=8.

c) Calcula \int_0^3x\sqrt{x+1}~dx.

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