Archivo de la categoría: Integral indefinida y definida II

Problema 1416

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, integrales, Integrales indefinidas, límitesdurán

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

a) Calcule $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$ .
b) Calcule la integral indefinida $\int x^2\ln(x)~dx$ . Determine la primitiva de la función $f(x)=x^2\ln(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas (1,0).

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Problema 1400

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Integrales definidas, Monotoníadurán

Se considera la función

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)&\text{si}&x<0\\xe^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a $(-\pi,2)$ . Demuestre que existe un punto $x_0\in[0,1]$ de manera que $f(x_0)=2$ .
c) Calcule $\int_{-\frac\pi2}^1f(x)~dx$ .

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Problema 1257

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Integración con cambio de variable, Integral racional, Integrales indefinidasdurán

a) Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}~dx$ .

b) Determine el área del recinto limitado por el eje OX, la gráfica de la función $f(x)=\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}$ y la recta vertical x=1.

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Problema 1225

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Dominios, funciones, Integral racional, Integrales indefinidas, Monotoníadurán

Considera la función $f(x)=\frac3{x^2-x}$ .

a) Calcula su dominio y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) Calcula una primitiva de f.
c) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función $y=f(x)$ , el eje OX y las rectas x=2 y x=3.

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Problema 1228

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIDominios, funciones, Integración por partes, integrales, Integrales definidas, Monotoníadurán

Consideremos la función $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ , donde ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:

a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función $f(x)$ .
b) Calcule el valor de la integral: $\int_1^ef(x)~dx$

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Problema 1217

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfunciones, Integral racional, Integrales indefinidasdurán

Resuelva la integral

$\displaystyle\int\dfrac{-x+7}{x^2+x-2}~dx$

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Problema 1206

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Integral racional, integrales, Integrales definidas, Integrales indefinidasdurán

a) Calcular razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}~dx$ .

b) Calcula, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función $g(x)=-x^3+2x^2+3x$ y el eje de abscisas.

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Problema 1199

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Áreas por integración, Dominios, funciones, Integrales indefinidasdurán

Considera la función $f(x)=\frac2{x^2}$ .

a) Calcula el dominio y las asíntotas de f.
b) Halla la primitiva de f.
c) Calcula el área de la región limitada por la función $y=f(x)$ , las rectas $x=1,~x=2$ , y el eje OX de abscisas.

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Problema 1183

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIIntegración con cambio de variable, Integración por partes, integrales, Integrales indefinidasdurán

Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx$ .

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Problema 1169

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfunciones, Integrales definidas, Máximos y mínimos, Recta tangente, Teorema de Bolzanodurán

Dadas las funciones $f(x)=x^3+3x^2-1\text{ y }g(x)=6x$ , se pide:

a) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ con pendiente mínima.
c) Calcular $\displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}{g(x)}~dx$ .

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