Archivo de la categoría: Integral indefinida y definida II

Problema 878

a) Calcula los valores de a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+b&\text{si}&x<3\\\ln(x-2)&\text{si}&x\geq3\end{array}\right. sea derivable en x=3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta x+3y=0.

b) Si P(x) es un polinomio de tercer grado, con punto de inflexión en el punto (0,5) y un extremo relativo en el punto (1,1), calcula \int_0^1P(x)~dx.

Sigue leyendo Problema 878

Problema 874

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.

Sigue leyendo Problema 874

Problema 870

a) Calcula, si existe, el valor de m para que \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}=3.

b) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x)=ax^3+bx^2+cx+d tenga un punto de inflexión en el punto (0,5) y la tangente a la gráfica en el punto (1,1) sea paralela al eje x.

c) Calcula \int_1^e\sqrt x\ln x~dx.

Sigue leyendo Problema 870

Problema 862

a) Calcula a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right. sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta 2x+3y=8.

c) Calcula \int_0^3x\sqrt{x+1}~dx.

Sigue leyendo Problema 862

Problema 846

Considerese la función f(x)=x^2e^{-x}. Se pide:

a) Calcular los límites \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x).
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.
c) Calcular \int f(x)~dx.

Sigue leyendo Problema 846

Problema 748

Sabemos que una función f(x) es continua y derivable en todos los números reales, que tiene como segunda derivada f''(x)=6x y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es horizontal.

a) Determinar la abscisa de los puntos de inflexión de la función f y los intervalos de concavidad y convexidad. Justificar que la función f tiene un mínimo relativo en x = 1.
b) Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es y = 5, calcular la expresión de la función f.

Sigue leyendo Problema 748

Problema 722

Dada f(x)=\dfrac{\ln(x)}x, donde ln denota el logaritmo neperiano, definida para x>0, se pide:

a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva y=f(x).
b) Encontrar un punto de la curva y=f(x) en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analizar si dicho punto es un extremo relativo.
c) Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva y=f(x) y las rectas y=0 y x=e.

Sigue leyendo Problema 722