Archivo de la categoría: Integral indefinida y definida II

Problema 764

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIanálisis, Integración por partes, integralesdurán

Determina la función $f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ sabiendo que es derivable, que su función cumple

$f'(x)=\dfrac{\ln(x)}{\sqrt x}$

(ln denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de f pasa por el punto (1,0).

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Problema 756

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIIntegral racional, integralesdurán

Sea la función $f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=\dfrac{1+e^x}{1-e^x}$ . Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1,1). (Sugerencia: cambio de variable $t=e^x$ ).

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Problema 748

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIanálisis, Curvatura, funciones, integrales, Punto de inflexión, Test de la derivada segundadurán

Sabemos que una función f(x) es continua y derivable en todos los números reales, que tiene como segunda derivada $f''(x)=6x$ y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es horizontal.

a) Determinar la abscisa de los puntos de inflexión de la función f y los intervalos de concavidad y convexidad. Justificar que la función f tiene un mínimo relativo en x = 1.
b) Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es y = 5, calcular la expresión de la función f.

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Problema 730

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIanálisis, Derivadas, integrales, Regla de la cadenadurán

a) Sean f y g dos funciones derivables de las que se conocen los siguientes datos:

$f(1)=1,~f'(1)=2,~g(1)=3,~g'(1)=4$

Dada $h(x)=f((x+1)^2)$ , use la regla de la cadena para calcular $h'(0)$ . Dada $k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ , calcule $k'(1)$ .

b) Calcule la integral $\displaystyle\int(\text{sen}x)^4(\cos x)^3~dx$ . (Se puede usar el cambio de variables $t=\text{sen}x$ .)

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Problema 722

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Derivadas, funciones, Integrales definidas, Máximos y mínimos, Recta tangentedurán

Dada $f(x)=\dfrac{\ln(x)}x$ , donde ln denota el logaritmo neperiano, definida para x>0, se pide:

a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva $y=f(x)$ .
b) Encontrar un punto de la curva $y=f(x)$ en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analizar si dicho punto es un extremo relativo.
c) Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva $y=f(x)$ y las rectas y=0 y x=e.

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Problema 639

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, integrales, Recta tangentedurán

Consideramos la función $f(x)=ax^3+bx^2+cx\cdot\cos(\pi x)$ , que depende de los parámetros a, b y c. Obtener razonadamente:

a) La relación entre los coeficientes a, b y c sabiendo que f toma el valor 22 cuando x=1.
b) La relación que deben verificar los coeficientes a, b y c para que sea horizontal la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto P de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto P es x=1.
c) $\displaystyle\int_0^1x\cdot\cos(\pi x)~dx$ .

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Problema 621

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funciones, integrales, Monotonía, Representación de funcionesdurán

Se considera la función $f(x)=xe^{-x^2}$ . Obtener razonadamente:

a) Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función f.
b) La representación gráfica de la curva $y=f(x)$ .
c) El valor del parámetro a para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,1] a la función $g(x)=f(x)+ax$ .
d) El valor de las integrales indefinidas $\int f(x)~dx,~\int xe^{-x}~dx$ .

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Problema 490

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, integralesdurán

Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{5\mbox{ sen}x}{2x}+\dfrac12&\mbox{si}&x<0\\\\a&\mbox{si}&x=0\\\\xe^x+3&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.$

se pide:

a) Hallar, si existe, el valor de a para que f sea continua.
b) Decidir si la función es derivable en x=0 para algún valor de a.
c) Calcular la integral $\displaystyle\int_1^{\ln5}f(x)~dx$ , donde ln denota logaritmo neperiano.