Archivo de la categoría: Integral indefinida y definida II

Problema 965

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIintegrales, límites, Regla de L'Hôpitaldurán

a) Calcular $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-\cos(x)}{\ln(1+x)}$ .

b) Calcular $\int\dfrac{(\ln x)^2}x~dx$ .

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Problema 955

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, funciones, Integrales definidasdurán

Determínense los valores de a y de b para los cuales la función definida por

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a+\cos(x)&\text{si}&x\leq0\\x^2-2bx+1&\text{si}&x>0\end{array}\right.$

es continua y verifica que $\int_0^1f(x)~dx=\frac13$ .

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Problema 886

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Integral racional, integrales, Integrales definidas, Recta tangentedurán

Dada la función $f(x)=\dfrac x{1+|x|}$ :

a) Estudia, en x=0, la continuidad y derivabilidad de f.
b) Determina los puntos de la gráfica de f en que la recta tangente es paralela a la recta $x-4y=0$ y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c) Calcula $\int_{-1}^0f(x)~dx$ .

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Problema 882

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIIntegración por partes, integrales, límites, Máximos y mínimos, Puntos críticos, Test de la derivada segundadurán

a) Calcula:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}$

b) La derivada de una función f, que tiene dominio (0,∞), es $f'(x)=1+\ln x$ . Determina la función f teniendo en cuenta que su gráfica pasa por el punto (1,4).

c) Determina, si existen, los máximos y los mínimos relativos de f.

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Problema 878

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Estremo relativo, funciones, integrales, Integrales definidas, Punto de inflexión, Recta tangentedurán

a) Calcula los valores de a y b para que la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+b&\text{si}&x<3\\\ln(x-2)&\text{si}&x\geq3\end{array}\right.$ sea derivable en x=3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta $x+3y=0$ .

b) Si $P(x)$ es un polinomio de tercer grado, con punto de inflexión en el punto (0,5) y un extremo relativo en el punto (1,1), calcula $\int_0^1P(x)~dx$ .

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Problema 874

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, Integración por partes, Integral racional, integrales, Integrales definidas, límites, optimización, Puntos críticos, Regla de L'Hôpital, Test de la derivada segundadurán

a) Calcula $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}$ .

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula $\int_0^1x\ln(1+x)~dx$ .

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Problema 870

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, Integración por partes, integrales, Integrales definidas, límites, Punto de inflexióndurán

a) Calcula, si existe, el valor de m para que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}=3$ .

b) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ tenga un punto de inflexión en el punto (0,5) y la tangente a la gráfica en el punto (1,1) sea paralela al eje x.

c) Calcula $\int_1^e\sqrt x\ln x~dx$ .

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Problema 862

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Optimización II, Selectividad Mat IICambio de variable, Continuidad y derivabilidad, funciones, Integrales definidas, optimizacióndurán

a) Calcula a y b para que la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$ sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta $2x+3y=8$ .

c) Calcula $\int_0^3x\sqrt{x+1}~dx$ .

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Problema 846

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIDerivadas, Integración por partes, límites, Máximos y mínimos, Monotonía, Punto de inflexión, Puntos críticos, Regla de L'Hôpitaldurán

Considerese la función $f(x)=x^2e^{-x}$ . Se pide:

a) Calcular los límites $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$ .
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.
c) Calcular $\int f(x)~dx$ .