Archivo de la categoría: Integral indefinida y definida II

Problema 748

Sabemos que una función f(x) es continua y derivable en todos los números reales, que tiene como segunda derivada f''(x)=6x y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es horizontal.

a) Determinar la abscisa de los puntos de inflexión de la función f y los intervalos de concavidad y convexidad. Justificar que la función f tiene un mínimo relativo en x = 1.
b) Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es y = 5, calcular la expresión de la función f.

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Problema 722

Dada f(x)=\dfrac{\ln(x)}x, donde ln denota el logaritmo neperiano, definida para x>0, se pide:

a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva y=f(x).
b) Encontrar un punto de la curva y=f(x) en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analizar si dicho punto es un extremo relativo.
c) Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva y=f(x) y las rectas y=0 y x=e.

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Problema 639

Consideramos la función f(x)=ax^3+bx^2+cx\cdot\cos(\pi x), que depende de los parámetros a, b y c. Obtener razonadamente:

a) La relación entre los coeficientes a, b y c sabiendo que f toma el valor 22 cuando x=1.
b) La relación que deben verificar los coeficientes a, b y c para que sea horizontal la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto P es x=1.
c) \displaystyle\int_0^1x\cdot\cos(\pi x)~dx.

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Problema 621

Se considera la función f(x)=xe^{-x^2}. Obtener razonadamente:

a) Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función f.
b) La representación gráfica de la curva y=f(x).
c) El valor del parámetro a para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,1] a la función g(x)=f(x)+ax.
d) El valor de las integrales indefinidas \int f(x)~dx,~\int xe^{-x}~dx.

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