Archivo de la categoría: Límites, continuidad, derivadas II

Problema 1585

Sea la función f(x)=\ln\left(\dfrac{5x-2-x\cdot\text{sen}\frac{\pi x}2}{x^2-4x+6}\right).

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3].
b) Demuestra que existe \alpha\in(1,3) tal que f'(\alpha)=\frac32\ln2. Enuncia los resultados teóricos utilizados, y justifica su uso.

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Problema 1561

Dada la función f(x)=\dfrac{ax^2-2}{b-x} donde ab son dos parámetros con valores reales.

a) Calcular el valor de los parámetros ab que verifican que f(-2)=2 y que f(x) sea continua en \mathbb R\setminus\{5\}. Escribir la función resultante f y calcular su derivada f‘.
b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función f si los parámetros toman los valores a=-1 y b=-3.

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Problema 1512

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, I(t), viene dada por la función I(t)=\left\{\begin{array}{ccc}ke^{2t}&\text{si}&t<1\\\frac{t^2}{3t^2+1}&\text{si}&t\geq1\end{array}\right., siendo k una constante real, t el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y t=1 el inicio de la vacunación.

a) Calcula el valor de k para que I(t) sea continua.
b) Calcula la proporción de personas infectadas cuando t\rightarrow\infty.
c) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=\frac12.
d) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=2.

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