Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m. de longitud.
a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor x que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo.
b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima.
Considere un triángulo isósceles cuya base de 12 cm es el lado desigual y cuya altura es de 5 cm. Se quiere determinar un punto A situado sobre la altura a una distancia x de la base de manera que la suma de las distancias del punto A a los tres vértices del triángulo sea mínima. Observe la figura:
a) Demuestre que la suma de las distancias del punto A a los tres vértices del triángulo viene dada por la expresión
b) Calcule el valor de x para que la suma de las distancias sea mínima.
c) Calcule dicha cantidad mínima.
Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.
Se desea construir una caja sin tapa superior (ver Figura 1). Para ello, se usa una lámina de cartón de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas (ver Figura 2). Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indicar cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo.
De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vértice sobre la recta 
La resistencia a la rotura, R, de una viga de sección rectangular de base x y altura y es directamente proporcional al producto 
a) Comprobar que la resistencia R de la viga rectangular de base x que podemos construir con este tronco viene dada por la expresión 
b) Calcular las dimensiones de la viga rectangular de resistencia máxima que podemos construir a partir de este tronco y calcular la resistencia máxima.
Considerar la parábola 
a) Comprobar que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa 
b) Calcular el valor de a>0 para que el área del triángulo determinado por la recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínimo.
Sean tres números reales positivos cuya suma es 90 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determina los números de forma que el producto entre ellos sea máximo.
Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular R, uno de cuyos vértices es el punto (x, y) (véase la figura).
a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de x, cuando
b) Calculad las dimensiones que tendrá R para que su área sea máxima.
c) Calculad el valor de dicha área máxima.
En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).
Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².
a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por 
b) Si el volumen de la lata es 
