Archivo de la categoría: Optimización II

Problema 1159

Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat II, ,

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener:

a) La expresión del área A(x) del triángulo, en función de la longitud x del tercer lado.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función A(x),~0\leq x\leq20.
c) La longitud x del tercer lado para que el área del triángulo sea máximo y el valor de este área.

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Problema 1149

Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat II, , , ,

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva y=4-x^2 de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

p1149

a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4} nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problema 1142

Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat II, , ,

Trazamos la recta tangente a la función f(x)=\dfrac1{x^2}+1 por un punto P=(a,f(a)) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

p1142

a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de a, viene dada por la función

g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}.

b) ¿En qué punto P el área del triángulo es mínimo? Calcula dicho valor mínimo.

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Problema 874

Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Optimización II, Selectividad Mat II, , , , , , , , ,

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.

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Problema 862

Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Optimización II, Selectividad Mat II, , , ,

a) Calcula a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right. sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta 2x+3y=8.

c) Calcula \int_0^3x\sqrt{x+1}~dx.

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