Archivo de la categoría: Optimización II

Problema 1498

Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular R, uno de cuyos vértices es el punto (x, y) (véase la figura).

a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de x, cuando 0\leq x\leq32.
b) Calculad las dimensiones que tendrá R para que su área sea máxima.
c) Calculad el valor de dicha área máxima.

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Problema 1415

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².

a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por 10\pi x^2+6\pi xy.
b) Si el volumen de la lata es 90\pi cm³ , determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

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Problema 1159

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener:

a) La expresión del área A(x) del triángulo, en función de la longitud x del tercer lado.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función A(x),~0\leq x\leq20.
c) La longitud x del tercer lado para que el área del triángulo sea máximo y el valor de este área.

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Problema 1149

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva y=4-x^2 de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

p1149

a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4} nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problema 1142

Trazamos la recta tangente a la función f(x)=\dfrac1{x^2}+1 por un punto P=(a,f(a)) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

p1142

a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de a, viene dada por la función

g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}.

b) ¿En qué punto P el área del triángulo es mínimo? Calcula dicho valor mínimo.

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