Archivo de la categoría: Optimización II

Problema 874

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.

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Problema 862

a) Calcula a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right. sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta 2x+3y=8.

c) Calcula \int_0^3x\sqrt{x+1}~dx.

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Problema 854

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola y=4-x^2, un cateto sobre el eje x y el otro paralelo al eje y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.

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Problema 743

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m². Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 € / m para los lados horizontales y de 12,5 € / m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?

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Problema 720

Se considera el triángulo T de vértices O=(0,0), A=(x,y) y B=(0,y), siendo x > 0 ,
y > 0 , y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros.
Obtener razonadamente:

a) El área del triángulo T en función de x.
b) El valor de x para el que dicha área es máxima.
c) El valor de dicha área máxima.

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Problema 711

Se desea unir un punto M situado en un lado de una calle, de 6 m de anchura, con el punto N situado en el otro lado de la calle, 18 m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un punto P, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto N. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M = ( 0 , 6 ) , P = (x , 0 ) y N = ( 18 , 0 ) . El cable MP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable PN es de 5 €/m.
Obtener razonadamente:

a) El costo total C de los dos cables en función de la abscisa x del punto P, cuando 0 ≤ x ≤ 18 .
b) El valor de x, con 0 ≤ x ≤ 18 , para el que el costo total C es mínimo.
c) El valor de dicho costo total mínimo.

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Problema 648

Un proyectil está unido al punto (0,2) por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva y=4-x^2 de extremos (-2,0) y (2,0). Obtener razonadamente:

a) La función de la variable x que expresa la distancia entre un punto cualquiera (x,4-x^2) de la curva y=4-x^2 y el punto (0,2).
b) Los puntos de la curva y=4-x^2 a mayor distancia absoluta del punto (0,2) para -2\leq x\leq2.
c) Los puntos de la curva y=4-x^2 a menor distancia absoluta del punto (0,2) para -2\leq x\leq2.
d) El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas y=4-x^2 e y=2-|x| cuando-2\leq x\leq2.

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