Archivo de la categoría: Optimización II

Problema 1562

Se desea construir una caja sin tapa superior (ver Figura 1). Para ello, se usa una lámina de cartón de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas (ver Figura 2). Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indicar cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo.

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Problema 1542

La resistencia a la rotura, R, de una viga de sección rectangular de base x y altura y es directamente proporcional al producto xy^2; por tanto, R=kxy^2, donde k es una constante positiva. Disponemos de un tronco de madera en forma de cilindro de diámetro d como el de la figura.

a) Comprobar que la resistencia R de la viga rectangular de base x que podemos construir con este tronco viene dada por la expresión R=kx(d^2-x^2).
b) Calcular las dimensiones de la viga rectangular de resistencia máxima que podemos construir a partir de este tronco y calcular la resistencia máxima.

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Problema 1533

Considerar la parábola y=4-x^2 y un valor a>0.

a) Comprobar que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa x=a es y=-2ax+a^2+4 y calcular los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas.
b) Calcular el valor de a>0 para que el área del triángulo determinado por la recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínimo.

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Problema 1498

Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular R, uno de cuyos vértices es el punto (x, y) (véase la figura).

a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de x, cuando 0\leq x\leq32.
b) Calculad las dimensiones que tendrá R para que su área sea máxima.
c) Calculad el valor de dicha área máxima.

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Problema 1415

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².

a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por 10\pi x^2+6\pi xy.
b) Si el volumen de la lata es 90\pi cm³ , determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

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Problema 1159

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener:

a) La expresión del área A(x) del triángulo, en función de la longitud x del tercer lado.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función A(x),~0\leq x\leq20.
c) La longitud x del tercer lado para que el área del triángulo sea máximo y el valor de este área.

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