Archivo de la categoría: Optimización II

Problema 974

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, optimizacióndurán

De todos los rectángulos cuyo perímetro es 40 cm, encontrar el que tiene la diagonal de menor longitud.

Problema 874

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, Integración por partes, Integral racional, integrales, Integrales definidas, límites, optimización, Puntos críticos, Regla de L'Hôpital, Test de la derivada segundadurán

a) Calcula $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}$ .

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula $\int_0^1x\ln(1+x)~dx$ .

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Problema 862

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Optimización II, Selectividad Mat IICambio de variable, Continuidad y derivabilidad, funciones, Integrales definidas, optimizacióndurán

a) Calcula a y b para que la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$ sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta $2x+3y=8$ .

c) Calcula $\int_0^3x\sqrt{x+1}~dx$ .

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Problema 854

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Optimización II, Selectividad Mat IIoptimización, Teorema de Bolzano, Teorema de Rolledurán

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola $y=4-x^2$ , un cateto sobre el eje x y el otro paralelo al eje y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.

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Problema 763

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIanálisis, Derivadas, Máximos y mínimos, optimización, Puntos críticos, Test de la derivada segundadurán

Dada la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=6-\dfrac16x^2$ , calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y=0.

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Problema 743

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIanálisis, Máximos y mínimos, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m². Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 € / m para los lados horizontales y de 12,5 € / m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?

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Problema 737

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIanálisis, Áreas, Máximos y mínimos, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm² de superficie, con unos márgenes alrededor del texto de 2 cm en la parte inferior, 3 cm en la parte superior y 2 cm a cada lado.
Calcular las dimensiones de la página que permiten la superficie impresa mayor
posible.

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Problema 720

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIanálisis, Áreas, funciones, Máximos y mínimos, optimización, Puntos críticos, Triángulosdurán

Se considera el triángulo T de vértices O=(0,0), A=(x,y) y B=(0,y), siendo x > 0 ,
y > 0 , y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros.
Obtener razonadamente:

a) El área del triángulo T en función de x.
b) El valor de x para el que dicha área es máxima.
c) El valor de dicha área máxima.

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Problema 711

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIDistancias, Máximos y mínimos, optimización, Puntos críticosdurán

Se desea unir un punto M situado en un lado de una calle, de 6 m de anchura, con el punto N situado en el otro lado de la calle, 18 m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un punto P, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto N. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M = ( 0 , 6 ) , P = (x , 0 ) y N = ( 18 , 0 ) . El cable MP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable PN es de 5 €/m.
Obtener razonadamente:

a) El costo total C de los dos cables en función de la abscisa x del punto P, cuando 0 ≤ x ≤ 18 .
b) El valor de x, con 0 ≤ x ≤ 18 , para el que el costo total C es mínimo.
c) El valor de dicho costo total mínimo.

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Problema 648

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, Máximos y mínimos, optimizacióndurán

Un proyectil está unido al punto (0,2) por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva $y=4-x^2$ de extremos (-2,0) y (2,0). Obtener razonadamente:

a) La función de la variable x que expresa la distancia entre un punto cualquiera $(x,4-x^2)$ de la curva $y=4-x^2$ y el punto (0,2).
b) Los puntos de la curva $y=4-x^2$ a mayor distancia absoluta del punto (0,2) para $-2\leq x\leq2$ .
c) Los puntos de la curva $y=4-x^2$ a menor distancia absoluta del punto (0,2) para $-2\leq x\leq2$ .
d) El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas $y=4-x^2$ e $y=2-|x|$ cuando $-2\leq x\leq2$ .

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Problemas de selectividad resueltos