Archivo de la categoría: Optimización II

Problema 763

Dada la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=6-\dfrac16x^2, calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y=0.

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Problema 743

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m². Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 € / m para los lados horizontales y de 12,5 € / m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?

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Problema 720

Se considera el triángulo T de vértices O=(0,0), A=(x,y) y B=(0,y), siendo x > 0 ,
y > 0 , y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros.
Obtener razonadamente:

a) El área del triángulo T en función de x.
b) El valor de x para el que dicha área es máxima.
c) El valor de dicha área máxima.

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Problema 711

Se desea unir un punto M situado en un lado de una calle, de 6 m de anchura, con el punto N situado en el otro lado de la calle, 18 m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un punto P, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto N. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M = ( 0 , 6 ) , P = (x , 0 ) y N = ( 18 , 0 ) . El cable MP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable PN es de 5 €/m.
Obtener razonadamente:

a) El costo total C de los dos cables en función de la abscisa x del punto P, cuando 0 ≤ x ≤ 18 .
b) El valor de x, con 0 ≤ x ≤ 18 , para el que el costo total C es mínimo.
c) El valor de dicho costo total mínimo.

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Problema 648

Un proyectil está unido al punto (0,2) por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva y=4-x^2 de extremos (-2,0) y (2,0). Obtener razonadamente:

a) La función de la variable x que expresa la distancia entre un punto cualquiera (x,4-x^2) de la curva y=4-x^2 y el punto (0,2).
b) Los puntos de la curva y=4-x^2 a mayor distancia absoluta del punto (0,2) para -2\leq x\leq2.
c) Los puntos de la curva y=4-x^2 a menor distancia absoluta del punto (0,2) para -2\leq x\leq2.
d) El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas y=4-x^2 e y=2-|x| cuando-2\leq x\leq2.

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Problema 642

Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo R de 600 cm² de área de manera que:

  • Por encima y por debajo de R deben quedar unos márgenes de 3 cm de altura cada uno.
  • Los márgenes a izquierda y a derecha de R deben tener una anchura de 2 cm cada uno.

Obtener razonadamente:

a) El área de la cartulina en función de la base x del rectángulo R.
b) El valor de x para el cual el área de la cartulina es mínimo.
c) Las dimensiones de dicha cartulina de área mínimo.

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Problema 636

Se divide un alambre de longitud 100 cm en dos partes. Con una de ellas, de longitud x, se construye un triángulo equilátero y con la otra, de longitud 100-x, se construye un cuadrado. Se pide obtener razonadamente:

a) La función de la variable x que expresa la suma de las áreas del triángulo equilátero y del cuadrado, siendo 0\leq x\leq100.
b) El valor de la variable x en el intervalo [0,100] para el cuál dicha función (suma de las áreas en función de x obtenida en el apartado a)) alcanza su mínimo valor.
c) El valor de la variable x en el intervalo [0,100] para el cual dicha función alcanza su máximo valor. Interpretar el resultado obtenido.

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Problema 438

El croquis de abajo representa la pared de un desván con el techo inclinado, en la que se quiere construir un armario rectangular como el de la zona sombreada.

p438

a) Expresar el área del rectángulo en función de la longitud x del segmento AB.
b) Determinar las dimensiones del rectángulo si se quiere que tenga una superficie máxima y calcular esta superficie máxima.

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