Archivo de la categoría: Geometría II

Problema 1843

a) Halle los valores de k y de m que hacen que los puntos A(k,3,m),~B(2,0,2),~C(k,2,0) esten alineados.

b) Estudie la posición relativa de las rectas

r:~\dfrac{x-1}2=\dfrac{y+1}3=\dfrac{z-2}2\qquad s:~\dfrac{x+2}3=\dfrac{y+3}2=\dfrac{z+1}3

Si se cortan, calcule el punto de corte.

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Problema 1830

Sean el plano \pi:~x+y+z=1, la recta r_1:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=1-\lambda\\z=-1\end{array}\right.,\quad\lambda\in\mathbb R y el punto P (0, 1, 0).

a) Verifique que la recta r_1 está contenida en el plano \pi y que el punto P pertenece al mismo plano.
b) Halle una ecuación de la recta contenida en el plano \pi que pase por P y sea perpendicular a r_1.
c) Calcule una ecuación de la recta, r_2, que pase por P y sea paralela a r_1. Halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas r_1 y r_2.

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Problema 1826

Con un dispositivo láser situado en el punto  P (1, 1, 1) se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta de ecuaciones

r:~\left\{\begin{array}{rl}2x-y&=10\\x-z&=-90\end{array}\right.

a) Calcule un vector director de r y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide con el plano z = 0.
b) Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser.
c) Determine el ángulo entre el plano de ecuación x+y=2 y la recta r.

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Problema 1780

Los puntos A = (3, 0, 0), B = (0, 3, 0) y C = (0, 0, 3) son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto P = (1, 1, 1) y es perpendicular al plano \pi que contiene a los puntos A, B y C.

a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto P = (1, 1, 1) y es perpendicular al plano \pi.
c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.

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