Archivo de la categoría: Rectas y planos en el espacio II

Problema 1468

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIHaz de planos, rectas y planosdurán

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P=(-2,1,0)$ y corta perpendicularmente a la recta r de ecuaciones paramétricas

$\{x=1-2t,~y=1+t,~z=t\}$

Calcular la distancia de P al punto de corte de ambas rectas.

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Problema 1467

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IICondición de paralelismo, rectas y planosdurán

Sean r la recta que pasa por los puntos $A=(1,a,-1)$ y $B=(b,1,1)$ y $\pi$ el plano de ecuación $x+y-2z=2b$ .

a) Calcular los valores de los parámetros a y b para que la recta r sea perpendicular al plano $\pi$ .
b) Calcular los valores de los parámetros a y b para que la recta r esté contenida
en el plano $\pi$ .

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Problema 1448

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIÁreas, rectas y planosdurán

Sea el plano $\pi:~x+y+z=1$ . Encontrar un plano paralelo a $\pi$ tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área $2\sqrt3$ .

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Problema 1447

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIÁngulos, Condición de perpendicularidad, rectas y planosdurán

Dados el plano $\pi:~kx+y-z=0$ y la recta $r:~\frac{x-4}2=\frac{y-2}1=\frac{z+2}{-1}$ .

a) Determinar los valores del parámetro $k\in\mathbb R$ para que el plano $\pi$ contenga a r.
b) Para k=0, calcular el ángulo que forman $\pi$ y r.

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Problema 1436

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIrectas y planosdurán

La recta $r\equiv~\frac{x+3}2=\frac{y+4}2=\frac{z-3}3$ y la recta s, que pasa por los puntos P(1,0,2) y Q(a,1,0), se cortan en un punto. Calcular el valor de a y el punto de corte.

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Problema 1435

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIÁngulos, Haz de planos, rectas y planosdurán

Considera las rectas

$r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}2x-3y+z-2&=0\\-3x+2y+2z+1&=0\end{array}\right.\qquad s\equiv~\left\{\begin{array}{l}x=3-2\lambda\\y=-1+\lambda\\z=-2+2\lambda\end{array}\right.$

a) Calcula el plano perpendicular a la recta s que pasa por el punto P(1,0,-5).
b) Calcula el seno del ángulo que forma la recta r con el plano $\pi\equiv~-2x+y+2z=0$ .

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Problema 1418

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IICondición de perpendicularidad, rectas y planosdurán

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

Considere los puntos $A=(a,4,3)$ , $B=(0,0,5)$ y $C=(0,3,-1)$ .

a) Calcule los valores de a para los cuales el triángulo ABC tiene un ángulo recto en el vértice A.
b) Tomando el valor de a=3, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos A y B y es paralelo a la recta dada por $\left\{\begin{array}{rl}x-y+z&=0\\2x+y&=3\end{array}\right.$

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Problema 1417

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIHaz de planos, Posiciones relativas, rectas y planosdurán

Considere los planos de ecuaciones $\pi_1:~x-y+z=0$ y $\pi_2:~x+y-z=2$ .

a) Compruebe que los planos se cortan y calcule la ecuación de la recta determinada por la intersección de ambos planos.
b) Compruebe que el punto $A=(3,2,1)$ no está en $\pi_1$ ni en $\pi_2$ y calcule la ecuación del plano $\pi_3$ que contiene a la recta r y pasa por el punto A.

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Problema 1401

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, Haz de planos, rectas y planosdurán

Sean los planos $\pi_1\equiv~x+y=1$ y $\pi_2\equiv~x+z=1$ .

a) Halle los planos paralelos al plano $\pi_1$ tales que su distancia al origen de coordenadas sea 2.
b) Halle la recta que pasa por el punto (0, 2, 0) y es perpendicular al plano $\pi_2$ .
c) Halle la distancia entre los puntos de intersección del plano $\pi_1$ con los ejes x e y.

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Problema 1397

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIÁngulos, Proyección ortogonal, Punto simétrico, rectas y planosdurán

Sean la recta $r\equiv\left\{\begin{array}{rl}-x-y+z&=0\\2x+3y-z+1&=0\end{array}\right.$ y el plano $\pi\equiv~2x+y-z+3=0$ . Se pide:

a) Calcular el ángulo que forman r y $\pi$ .
b) Hallar el simétrico del punto de intersección de la recta r y el plano $\pi$ con respecto al plano $z-y=0$ .
c) Determinar la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano $\pi$ .

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