Archivo de la categoría: Rectas y planos en el espacio II

Problema 1843

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IICondición de paralelismo, Posiciones relativas, rectas y planoseMatecs

a) Halle los valores de k y de m que hacen que los puntos $A(k,3,m),~B(2,0,2),~C(k,2,0)$ esten alineados.

b) Estudie la posición relativa de las rectas

$r:~\dfrac{x-1}2=\dfrac{y+1}3=\dfrac{z-2}2\qquad s:~\dfrac{x+2}3=\dfrac{y+3}2=\dfrac{z+1}3$

Si se cortan, calcule el punto de corte.

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Problema 1842

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, rectas y planoseMatecs

a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $P(1,-1,0)$ y es perpendicular a la recta $r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=-1\\z=0\end{array}\right.\quad \lambda\in\mathbb R$ .

b) Calcule los dos puntos de la recta $r:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.\quad\lambda\in\mathbb R$ , cuya distancia al plano $\pi:~x-1=0$ es igual a 2.

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Problema 1835

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIPosiciones relativas, Punto simétrico, rectas y planoseMatecs

Dados los planos $\pi_1:~2x-y-z+4=0$ y $\pi_2:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+\alpha\\y=1+\alpha+\beta\\z=\alpha-\beta\end{array}\right.$ , y la recta $r:~\frac{x-1}1=\frac y2=\frac{z-2}{-1}$ .

a) Calcular la posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$ .
b) Calcular el punto P‘ que es simétrico al punto P=(1,0,0) respecto del plano $\pi_1$ .
c) Calcular, si existe, el punto de intersección de $\pi_1$ y r.

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Problema 1834

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIPosiciones relativas, rectas y planoseMatecs

Dadas las rectas

$r:~\left\{\begin{array}{l}x=z-1\\y=2-3z\end{array}\right.\qquad s:~\left\{\begin{array}{l}x=4-5z\\y=4z-3\end{array}\right.$

a) Indicar justificadamente la posición relativa de r y s.
b) Hallar la ecuación de la recta l que pasa por el origen y corta a r y s. Seguir leyendo Problema 1834 →

Problema 1830

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIÁreas, Distancias, Producto vectorial, rectas y planoseMatecs

Sean el plano $\pi:~x+y+z=1$ , la recta $r_1:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=1-\lambda\\z=-1\end{array}\right.,\quad\lambda\in\mathbb R$ y el punto P (0, 1, 0).

a) Verifique que la recta $r_1$ está contenida en el plano $\pi$ y que el punto P pertenece al mismo plano.
b) Halle una ecuación de la recta contenida en el plano $\pi$ que pase por P y sea perpendicular a $r_1$ .
c) Calcule una ecuación de la recta, $r_2$ , que pase por P y sea paralela a $r_1$ . Halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas $r_1$ y $r_2$ .

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Problema 1826

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIÁngulos, Condición de perpendicularidad, rectas y planoseMatecs

Con un dispositivo láser situado en el punto P (1, 1, 1) se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta de ecuaciones

$r:~\left\{\begin{array}{rl}2x-y&=10\\x-z&=-90\end{array}\right.$

a) Calcule un vector director de r y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide con el plano z = 0.
b) Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser.
c) Determine el ángulo entre el plano de ecuación $x+y=2$ y la recta r.

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Problema 1787

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, Producto vectorial, rectas y planoseMatecs

Dadas las siguientes rectas:

$r:~\left\{\begin{array}{rl}2x+y-2z-1&=0\\y+z+1&=0\end{array}\right.\qquad s:~\dfrac{x+2}1=\dfrac{y-1}2=\dfrac{z-1}2$

calcula la ecuación de un plano $\pi$ paralelo a la recta r y que diste de s 3 unidades.

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Problema 1784

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIRecta perpendicular común, rectas y planoseMatecs

Considere las siguientes rectas:

$r:~\dfrac{x-5}1=\dfrac{y-6}1=\dfrac{z+1}1\qquad s:~\dfrac{x-1}1=\dfrac y1=\dfrac{z+1}{-1}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

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Problema 1780

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIProducto mixto, rectas y planos, Volumen tetraedroeMatecs

Los puntos A = (3, 0, 0), B = (0, 3, 0) y C = (0, 0, 3) son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto P = (1, 1, 1) y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a los puntos A, B y C.

a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto P = (1, 1, 1) y es perpendicular al plano $\pi$ .
c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.

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Problema 1776

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, rectas y planoseMatecs

Sean el plano $\pi:~2x+y-z-3=0$ y la recta $r:~\left\{\begin{array}{l}x=3-\lambda\\y=2+\lambda\\z=1-3\lambda\end{array}\right.$

a) Determina la ecuación de la recta s que contiene al punto P(1,2,-1), es perpendicular a la recta r y paralela al plano $\pi$ .
b) Halla la distancia de la recta s al plano $\pi.$

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