Archivo de la categoría: Vectores II

Problema 1582

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IIDistancias, rectas y planos, vectoreseMatecs

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta $r:~\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}2$ . Otro lado lo determinan los puntos A(-1,-2,3) y B(2,-2,-1). Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide 16 u.

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Problema 1557

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IIÁreas, Producto escalar, Producto vectorial, vectoreseMatecs

Considera los puntos

$A=(5,a,7),~B=(3,-1,7),~C=(6,5,4)$

a) Determina el valor del parámetro a para el cual los puntos A, B y C forman un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el punto B.
b) Para el valor a=-2, calcula el área del triángulo de vértices A, B y C.
c) Para el valor a=5, calcula el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ .

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Problema 1541

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IIÁreas, Producto vectorial, vectoreseMatecs

Considerar los puntos del espacio tridimensional $A(1,a,1),~B(a,1,2)$ , $C(1,1,1),~D(0,0,0)$ , donde a es un parámetro real.

a) Determinar el valor del parámetro a para el cuál los puntos son distintos y coplanarios (es decir, hay un plano que los contiene).
b) Para el valor a=2, calcular el área del triángulo de vértices A, B y C.

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Problema 1519

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IIrectas y planos, TetraedroeMatecs

Sean los puntos A(0, 0, 1), B(2, 1, 0), C(1, 1, 1) y D(1, 1, 2).

a) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.
b) Calcula razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto D.

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Problema 1509

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IIDistancias, Producto vectorial, rectas y planoseMatecs

Se dispara un misil en línea recta desde el punto $A=(1,2,8)$ hacia la posición de la base enemiga $B=(3,4,0).$

a) Calcula la ecuación de la recta que contiene la trayectoria del misil.
b) Calcula el punto en el que el misil cruza el plano z=4.
c) Calcula la distancia que recorre el misil desde que se lanza hasta que impacta en B.
d) Calcula un vector perpendicular a los vectores $\overrightarrow{OB}\text{ y }\overrightarrow{AB}.$

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Problema 1504

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IICondición de perpendicularidad, rectas y planoseMatecs

Dados los puntos A(1, 1, 0) y B(0, 0, 2) y la recta $r:~\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=1+\lambda\\z=1+\lambda\end{array}\right.$ Halla:

a) Un punto $C\in r$ de forma que el triángulo ABC sea rectángulo con el ángulo recto en B.
b) El plano $\pi$ que pasa por A y B y es paralelo a r.

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Problema 1489

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IIProducto escalar, Producto vectorial, vectoreseMatecs

Sean los siguientes vectores:

$\vec u_1=(-1,1,1),~\vec u_2=(0,3,1),~\vec u_3=(1,-2,0),~\vec u_4=(-2,0,1)$

a) Compruebe si los vectores $\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo:

$\vec v_1=2\vec u_1-\vec u_2,~\vec v_2=\vec u_1+\vec u_3,~\vec v_3=\vec u_4$

b) Calcule las siguientes expresiones:

$(2\vec u_1-\vec u_2)\cdot(2\vec u_1-\vec u_2),\quad(\vec u_4-\vec u_1)\times(\vec u_4-\vec u_1)$

siendo $\cdot\text{ y }\times$ los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.

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Problema 1418

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IICondición de perpendicularidad, rectas y planoseMatecs

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

Considere los puntos $A=(a,4,3)$ , $B=(0,0,5)$ y $C=(0,3,-1)$ .

a) Calcule los valores de a para los cuales el triángulo ABC tiene un ángulo recto en el vértice A.
b) Tomando el valor de a=3, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos A y B y es paralelo a la recta dada por $\left\{\begin{array}{rl}x-y+z&=0\\2x+y&=3\end{array}\right.$

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Problema 1251

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IIDistancias, vectoreseMatecs

Los puntos A(-1,2,1) y B(2,5,1) son dos vértices de un cuadrado. Halla los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación:

$r\equiv~\dfrac x{-1}=\dfrac{y-4}1=\dfrac{z+1}{-4}$

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Problema 1243

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IIÁreas, Vector unitario, vectoreseMatecs

Dados los vectores $\vec u=(1,2,3)$ y $\vec v=(0,1,1)$ :

a) Hallar un vector $\vec w$ de módulo uno, que sea perpendicular a $\vec u$ y a $\vec v$ .
b) Calcular el área del paralelogramo determinado por $\vec u$ y $\vec v$ .

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