a) Consideremos los vectores . Calcular a para que sean perpendiculares.
b) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores y
.
a) Consideremos los vectores . Calcular a para que sean perpendiculares.
b) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores y
.
Sean la recta y el plano
. Encontrar m y k para que:
a) La recta r sea perpendicular al plano π.
b) La recta r esté contenida en el plano π.
Sea r la recta que pasa por los puntos P(1,0,5) y Q(5,2,3).
a) Calcula la distancia del punto A(5,-1,6) a la recta r.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a r y pasa por el punto A(5,-1,6).
c) Calcula el área del triángulo de vértices los puntos P(1,0,5), A(5,-1,6) y el punto de corte de la recta r con el plano .
Se pide:
a) Para el plano y la recta
, calcular el punto de corte de r con π y obtener la ecuación implícita del plano π* que es perpendicular a π y contiene a r.
b) Estudiar la posición relativa de los planos y
, y calcular el ángulo
que forman.
Se pide:
a) Estudiar la posición relativa de los planos y
en función de m.
b) Calcular el valor que deben tomar k y m para que los puntos y
estén alineados.
c) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por los puntos P(-1,2,1) y Q(8,1,1) y la ecuación implícita del plano perpendicular a r que pasa por el punto R(1,1,1).
Se considera los vectores , donde α y β son números reales.
a) Determina los valores de α y β para los que es ortogonal a los vectores
.
b) Determina los valores de α y β para los que tienen la misma dirección.
c) Para α=8, determina el valor de β para el que es combinación lineal de
.
Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,0), B(1,0,2) y C(0,2,1).
a) Halla el área de dicho triángulo.
b) Calcula el coseno del ángulo en el vértice A.
Sean P, Q y R los puntos de intersección del plano de ecuación con los tres ejes de coordenadas OX, OY y OZ, respectivamente.
a) Calcule los puntos P, Q y R, y el perímetro del triángulo de vértices P, Q y R.
b) Calcular el área del triángulo de vértices P, Q y R.
Dados los puntos A(1,1,1), B(1,3,-3) y C(-3,-1,1), se pide:
a) Determinar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.
b) Obtener un punto D (distinto de A, B y C) tal que los vectores sean linealmente dependientes.
c) Encontrar un punto P del eje OX, de modo que el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P sea igual a 1.
Sea T un tetraedro de vértices O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 0) y C = (0, 3, 0).
Obtener razonadamente:
a) La ecuación del plano π que contiene a los puntos A, B y C, y las ecuaciones de la recta perpendicular a π que pasa por O.
b) El punto de intersección de la altura y el plano π.
c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos A, B y C, y el volumen del tetraedro T.