Archivo de la categoría: Vectores II

Problema 943

Sean la recta r\equiv\frac{x-1}m=\frac{y-1}2=\frac{z-1}4 y el plano \pi\equiv x+y+kz=0. Encontrar m y k para que:

a) La recta r sea perpendicular al plano π.
b) La recta r esté contenida en el plano π.

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Problema 879

Sea r la recta que pasa por los puntos P(1,0,5) y Q(5,2,3).

a) Calcula la distancia del punto A(5,-1,6) a la recta r.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a r y pasa por el punto A(5,-1,6).
c) Calcula el área del triángulo de vértices los puntos P(1,0,5), A(5,-1,6) y el punto de corte de la recta r con el plano \pi:~2x+y-z-3=0.

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Problema 851

Se pide:

a) Estudiar la posición relativa de los planos \pi_1:~x+my+z+2=0 y \pi_2:~mx+y+z+m=0 en función de m.
b) Calcular el valor que deben tomar k y m para que los puntos A(0,k,1),~B(-1,2,1) y C(8,1,m) estén alineados.
c) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por los puntos P(-1,2,1) y Q(8,1,1) y la ecuación implícita del plano perpendicular a r que pasa por el punto R(1,1,1).

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Problema 766

Se considera los vectores \vec u=(1,2,3),~\vec v=(1,-2,-1)\text{ y }\vec w=(2,\alpha,\beta), donde α y β son números reales.

a) Determina los valores de α y β para los que \vec w es ortogonal a los vectores \vec u\text{ y }\vec v.
b) Determina los valores de α y β para los que \vec w\text{ y }\vec v tienen la misma dirección.
c) Para α=8, determina el valor de β para el que \vec w es combinación lineal de \vec u\text{ y }\vec v.

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Problema 731

Dados los puntos A(1,1,1), B(1,3,-3) y C(-3,-1,1), se pide:

a) Determinar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.
b) Obtener un punto D (distinto de A, B y C) tal que los vectores \overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\text{ y }\overrightarrow{AD} sean linealmente dependientes.
c) Encontrar un punto P del eje OX, de modo que el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P sea igual a 1.

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Problema 713

Sea T un tetraedro de vértices O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 0) y C = (0, 3, 0).
Obtener razonadamente:

a) La ecuación del plano π que contiene a los puntos A, B y C, y las ecuaciones de la recta h_O perpendicular a π que pasa por O.
b) El punto de intersección de la altura h_O y el plano π.
c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos A, B y C, y el volumen del tetraedro T.

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