Convertir un sistema de ecuaciones implícitas en un sistema de ecuaciones paramétricas

Dado el sistema de ecuaciones implícitas

\left\{\begin{array}{ccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\dots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\dots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\dots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M, que debe coincidir con el de la matriz ampliada para que se pueda dar la conversión.
El sistema de ecuaciones paramétricas utilizará n-rg(M) parámetros.

Recordamos que un menor de una matriz, es el determinante de una submatriz cuadrada de una matriz.

Llamemos rg(M)=a. Que rg(M)=a significa que el mayor menor de M cuyo valor es distinto de 0 es de orden a. Si dicho menor se obtiene por descarte de alguna columna perteneciente a alguna variable, x_i, a dicha variable se la convierte en parámetro y se desplaza al lado de los términos independientes, resultando un sistema compatible determinado que podemos resolver por multitud de métodos.
Cada variable x_i que no forma parte del menor que define el rango de M se convierte en parámetro.


Ejemplo:

Sea el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:

\left\{\begin{array}{c}6x-y-z=1\\2x-y+z=1\end{array}\right.

La matriz de coeficientes es:

M=\begin{pmatrix}6&-1&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}

Su rango es 2 ya que el menor \begin{vmatrix}-1&-1\\-1&1\end{vmatrix} es distinto de 0.
Para el cálculo de dicho rango hemos descartado la columna \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix} perteneciente a la variable x. Convertimos esa variable en parámetro, x=λ, y la desplazamos al miembro de los términos independientes resultando el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

\left\{\begin{array}{c}-y-z=1-6\lambda\\-y+z=1-2\lambda\end{array}\right.

Sistema que podemos resolver con cualquier método obteniendo así las ecuaciones paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-1+4\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.


Ejemplo:

Sea la ecuación implícita:

6x-y-2z=1

La matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}6&-1&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que |-1| es distinto de 0.
Para el cálculo de este rango hemos descartado las columnas perteneciente a x y a z. Convertimos esas variables en parámetros x=λ y z=μ, y las desplazamos al miembro del término independiente:

-y=1-6\lambda+2\mu

obteniéndose así las ecuaciones paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-1+6\lambda-2\mu\\z=\mu\end{array}\right.