Distancias entre puntos, rectas y planos en el espacio.

1. Distancia entre dos planos paralelos.

Sean dos planos paralelos en forma general, \pi_1:~Ax+By+Cz+D_1=0\mbox{ y }\pi_2:~Ax+By+Cz+D_2=0.
La distancia entre ambos planos es:

\boxed{d(\pi_1,\pi_2)=\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

2. Distancia entre un punto y un plano.

Sea el punto P=(x_0,y_0,z_0) y un plano \pi:~Ax+By+Cz+D=0.
La distancia de P a π es:

\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

3. Distancia entre una recta y un plano paralelos.

Sea la recta r y el plano π.
Para calcular la distancia de r a π tomamos un punto cualquiera de la recta r, por ejemplo, P_r. Entonces:

\boxed{d(r,\pi)=d(P_r,\pi)}

La distancia entre una recta y un plano paralelos se reduce a calcular la distancia entre un punto cualquiera de la recta y un plano (con la fórmula del apartado 2).

4. Distancia entre dos puntos.

Sean los puntos A=(x_A,y_A,z_A)\mbox{ y }B=(x_B,y_B,z_B), la distancia entre ambos es:

\boxed{d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}}

Coincide con el módulo del vector que une ambos puntos:

\boxed{d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|}

En el caso de dos puntos en el plano A=(x_A,y_A)\mbox{ y }B=(x_B,y_B), la fórmula es semejante:

\boxed{d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}}

5. Distancia entre un punto y una recta.

Sea el punto P y la recta r que pasa por el punto P_r y tiene vector director \vec v_r.
Se calcula el vector \overrightarrow{PP_r}.
La distancia entre P y r es:

\boxed{d(P,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}|}{|\vec v_r|}}

donde \vec v_r\times\overrightarrow{PP_r} es el producto vectorial de estos dos vectores.

6. Distancia entre dos rectas paralelas.

Sea la recta r que pasa por el punto P_r y tiene por vector director \vec v_r, y sea la recta s que pasa por el punto P_s y tiene por vector director uno paralelo a \vec v_r.
Se calcula el vector \overrightarrow{P_rP_s}.
La distancia  entre r y s es:

\boxed{d(r,s)=d(P_s,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP_s}|}{|\vec v_r|}}

Es decir, la distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia entre un punto cualquiera de una de las rectas y la otra recta.

7. Distancia entre dos rectas que se cruzan.

Sea la recta r que pasa por el punto P_r y tiene por vector director \vec v_r, y sea la recta s que pasa por el punto P_s y tiene por vector director \vec v_s.
Se calcula el vector \overrightarrow{P_rP_s}.
La distancia entre r y s es:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

donde [\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}] es el producto mixto de estos tres vectores.

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