Demostración de que el número e es irracional

Sabemos que el desarrollo en serie de Taylor de e^x es:

\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}

En caso de que x=1 tenemos que:

\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty\dfrac1{n!}

o lo que es lo mismo:

e=1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\dfrac1{4!}+\dots

Es claro que e>2. Probemos ahora que e es menor que 3.
Sabemos que para n≥4 se cumple que n!>2^n, o lo que es lo mismo \dfrac1{n!}<\dfrac1{2^n}, luego:

e=\left(1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}\right)+\left(\dfrac1{4!}+\dfrac1{5!}+\dots\right)<\left(1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}\right)+\left(\dfrac1{2^4}+\dfrac1{2^5}+\dots\right)

El primer paréntesis suma 8/3. Los elementos del segundo paréntesis corresponden a una sucesión geométrica cuyo primer elemento es a_1=\frac1{2^4} y cuya razón es r=\frac12. El valor de la serie es:

s=\dfrac{a_1}{1-r}=\dfrac18

Luego:

e<\dfrac83+\dfrac18<3

Al ser 2<e<3 queda demostrado que e no es un número entero. Hechas estas consideraciones previas, demostremos que e es irracional.

Supongamos que e es un número racional, es decir, existen dos números enteros positivos ab tales que

e=\dfrac ab\qquad(1)

b ha de ser distinto de 0. Pero además b ha de ser distinto de 1, ya que si b=1 entonces e=a es decir, e sería entero, pero ya se demostró que e no es un número entero. Luego, b≠0 y b≠1.
Multiplicamos la expresión (1) por b!:

b!e=b!\dfrac ab~;\\\\b!e=(b-1)!a

Como (b-1)!a es un entero entonces b!e también debe serlo.
Supongamos que b!e es un entero.

b!e=b!\left(1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\dots+\dfrac1{b!}+\dfrac1{(b+1)!}+\dots\right)

b!e=\underbrace{b!\left(1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\dots+\dfrac1{b!}\right)}+\underbrace{b!\left(\dfrac1{(b+1)!}+\dots\right)}_z\qquad(2)

La primera llave da como resultado un entero pero, ¿cuál es el resultado de la segunda llave? Llamamos z al resultado de dicha llave. Es claro que z>0.

z=b!\left(\dfrac1{(b+1)!}+\dfrac1{(b+2)!}+\dots\right)=\dfrac1{b+1}+\dfrac1{(b+1)(b+2)}+\dots

Con i≥2 entero, sabemos que b+i>b+1, luego \dfrac1{b+i}<\dfrac1{b+1}:

z=\dfrac1{b+1}+\dfrac1{(b+1)(b+2)}+\dots<\dfrac1{b+1}+\dfrac1{(b+1)(b+1)}+\dots=\\\\=\dfrac1{b+1}+\dfrac1{(b+1)^2}+\dfrac1{(b+1)^3}+\dots

Este último resultado es también una serie geométrica cuya suma es \dfrac1b, luego z<\dfrac1b<1, es decir, 0<z<1 y queda demostrado que z no es entero.

Volviendo a la expresión (2), dado que la primera llave es un entero y la segunda llave no lo es, queda claro que b!e no es entero, por lo que e no es racional, e es irracional.