El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en el cálculo de la suma infinita de la inversa de los cuadrados de todos los números naturales:

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}=1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^3}+\dots

Su cálculo fue obtenido por el genio matemático Leonhard Euler cuando residía en Basilea, de ahí el nombre del problema.

Para hacer el cálculo tal como lo hizo Euler partimos del desarrollo en serie de Taylor de la función seno:

\text{sen}(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots

Sabemos que los ceros de sen(x) son x=k\pi, siendo k cualquier numero entero. Es decir:

x=0,~x=\pi,~x=-\pi,~x=2\pi,~x=-2\pi,\dots

Por otro lado, los ceros de x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots han de ser los mismos. Y como los ceros de un polinomio sirven para factorizar dicho polinomio, entonces:

x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots=nx(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)\dots

siendo n una constante desconocida, o bien 1 o -1 que no vamos a calcular.

Recordando el producto notable:

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

podemos escribir:

x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots=nx(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)(x^2-3^2\pi^2)\dots

Si dividimos entre x en ambos miembros, resulta:

1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}+\dots=n(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)(x^2-3^2\pi^2)\dots\qquad(1)

En el caso de que x=0, tenemos la igualdad:

1=n(-\pi^2)(-2^2\pi^2)(-3^2\pi^2)\dots

Luego, dividir por n(-\pi^2)(-2^2\pi^2)(-3^2\pi^2)\dots es lo mismo que dividir por 1.
Dividimos el miembro derecho de (1) por la expresión anterior:

1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}+\dots=\dfrac nn\cdot\dfrac{x^2-\pi^2}{-\pi^2}\cdot\dfrac{x^2-2^2\pi^2}{-2^2\pi^2}\cdot\dfrac{x^2-3^2\pi^2}{-3^2\pi^2}\dots

En el miembro derecho, la n se cancela con la n del denominador, y el resto de factores del denominador se divide a sus correspondientes numeradores resultando:

1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}+\dots=\left(1-\dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\dots

Igualamos el monomio de segundo grado del miembro izquierdo con la suma de los monomios de segundo grado del miembro derecho:

-\dfrac{x^2}{3!}=-\dfrac{x^2}{\pi^2}-\dfrac{x^2}{2^2\pi^2}-\dfrac{x^2}{3^2\pi^2}-\dots

Simplificamos x²:

-\dfrac{1}{3!}=-\dfrac1{\pi^2}-\dfrac1{2^2\pi^2}-\dfrac1{3^2\pi^2}-\dots

Recordando que 3!=6, multiplicamos en ambos miembros por -\pi^2:

\dfrac{\pi^2}6=1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\dots

es decir:

\displaystyle\boxed{\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6}


A partir de este resultado podríamos aproximar el valor de \pi:

\displaystyle\pi=\sqrt{6\cdot\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}}

Con una simple hoja de cálculo podemos aproximar el valor de \pi de esta manera, si bien no es un método muy eficiente. Es necesario que n llegue hasta 1000 para obtener apenas las tres primeras cifras de \pi.