El teorema de Rouché-Fröbenius

Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

que en forma matricial se escribe de la forma

Llamamos matriz de coeficientes a la matriz M. Llamamos matriz ampliada a la matriz M* que es la matriz formada por la matriz de coeficientes junto con la matriz de términos independientes

El rango de la matriz ampliada solo puede tener uno de los siguientes valores:

recordando que el rango de una matriz es como mucho la menor de sus dimensiones.

El teorema de Rouché-Fröbenius clasifica un sistema basándose en los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada. El teorema se resume de la siguiente forma:

  • Si el entonces el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución.
  • Si el entonces el sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones.
  • Si el entonces el sistema es incompatible. No tiene solución.

En el caso de sistemas compatibles indeterminados, la solución del sistema tendrá n-rg(M) parámetros.


Sistemas homogéneos

Si la matriz de términos independientes, N, es nula, esto es

al sistema se le llama sistema homogéneo, y tiene la particularidad de que rg(M)=rg(M*) por lo que siempre será un sistema compatible.

En los sistemas homogéneos que sean compatibles determinados solo existe una solución y es la solución trivial: