La paradoja del cumpleaños

El paradoja del cumpleaños parte de la pregunta:

¿A cuánta gente debemos reunir para que hayan personas que cumplan año el mismo día?

El sentido común nos dice que habiendo 365 días al año (excluyendo los bisiestos), harían falta al menos unas 180 personas para tener un 50% de probabilidad de coincidencia, sin embargo, el resultado es sorprendentemente menor, de ahí que a esta cuestión del cumpleaños se le considere una paradoja.

Supongamos que tenemos un recinto donde tenemos a una persona que cumple años cierto día. A continuación entra una segunda persona. La probabilidad de que esta segunda persona cumpla años el mismo día que la primera persona es \dfrac1{365}. Podemos así construir el siguiente diagrama de árbol:

C es el suceso «coincide el cumpleaños»

Supongamos que en el recinto entra una tercera persona. Ahora pueden coincidir el cumpleaños de la tercera persona con la primera, con la segunda o con ambas. Marcamos con un cuadrado rojo los sucesos en los que hay personas que coinciden en su cumpleaños.

Observamos que al entrar la tercera persona se han multiplicado las opciones de coincidencia del cumpleaños, pero también se ha complicado el cálculo de probabilidad de que haya alguna coincidencia.
Si ahora entrara una cuarta persona, los caminos que llevarían a la coincidencia de cumpleaños serían muchas más y la forma de calcular su probabilidad más complicada. Pero si observamos, hay un camino muy fácil de calcular: el de las personas que van entrando y sus cumpleaños no coinciden entre sí. Es el camino inferior del diagrama de árbol.
Este camino es único y sigue la sucesión:

\dfrac{364}{365},~\dfrac{363}{365},~\dfrac{362}{365}\dots

Tenemos ya las probabilidades, q_i, de que no coincidan el cumpleaños de grupos de 2 y 3 personas:

q_2=\dfrac{364}{365}~;\\\\q_3=\dfrac{364}{365}\cdot\dfrac{363}{365}

Si entran n personas la probabilidad de que los cumpleaños no coincidan es:

q_n=\dfrac{364}{365}\cdot\dfrac{363}{365}\cdot\dots\cdot\dfrac{366-n}{365}

probabilidad que podemos expresar mejor así:

q_n=\dfrac{365-1}{365}\cdot\dfrac{365-2}{365}\cdot\dots\cdot\dfrac{365+1-n}{365}~;\\\\q_n=\left(1-\dfrac1{365}\right)\left(1-\dfrac2{365}\right)\dots\left(1-\dfrac{n-1}{365}\right)

o lo que es lo mismo:

\displaystyle q_n=\prod_{i=2}^n\left(1-\dfrac{i-1}{365}\right)\qquad\text{con }n\geq2

Luego, la probabilidad, p_n, de que habiendo n personas en un recinto haya al menos una coincidencia en los cumpleaños es:

\boxed{p_n=1-\prod_{i=2}^n\left(1-\dfrac{i-1}{365}\right)}

Esta fórmula es fácil de implementar en cualquier hoja de cálculo. Haciendo esto podemos obtener que la probabilidad de que haya cumpleaños coincidentes es del 50.7% a partir de un grupo de 23 personas y del 99.9% en grupos a partir de tan solo 70 personas. Es decir, reuniendo a 70 personas es casi seguro que hay personas que cumplen año el mismo día.

Si representamos las probabilidades p_n en función de n obtendríamos la siguiente gráfica:

paradoja3

A la vista de la gráfica, no hacen falta agrupar más de 60 personas para estar casi seguros de que habrán personas cuyos cumpleaños coincidan.