La regla de Cramer

La regla de Cramer es un método para resolver sistemas compatibles utilizando determinantes. Para ello, el sistema debe cumplir las siguientes condiciones:

  • La matriz de coeficientes A del sistema ha de ser cuadrada n\times n.
  • El determinante de la matriz de coeficientes A ha de ser distinto de 0.

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Para este caso particular, tenemos el sistema

\left\{\begin{array}{rl}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z&=b_1\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z&=b_2\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z&=b_3\end{array}\right.

que en forma matricial es (AX=B):

\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}_A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}

Definimos:

A_x=\begin{pmatrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\qquad A_y=\begin{pmatrix}a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{23}\\a_{31}&b_3&a_{33}\end{pmatrix}\qquad A_z=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\a_{31}&a_{32}&b_3\end{pmatrix}

Si se cumplen las condiciones de Cramer, la solución del sistema es

\bullet~x=\dfrac{|A_x|}{|A|}\\\\\bullet~y=\dfrac{|A_y|}{|A|}\\\\\bullet~z=\dfrac{|A_z|}{|A|}

Ver ejemplos de aplicación.


Sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Sea el sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{ccccccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\dots&+&a_{1i}x_i&+&\dots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\dots&+&a_{2i}x_i&+&\dots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&+&\vdots&+&\ddots&+&\vdots&+&\ddots&+&\vdots&=&\vdots\\a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\dots&+&a_{ni}x_i&+&\dots&+&a_{nn}x_n&=&b_n\end{array}\right.

En forma matricial (AX=B):

\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1i}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2i}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{ni}&\dots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}

Llamamos A_i o A_{x_i} a la matriz que resulta de sustituir la columna i de la matriz de coeficientes A por la columna de la matriz de términos independientes B.

A_{x_i}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&b_1&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&b_2&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_n&\dots&a_{nn}\end{pmatrix}

La solución del sistema para cada variable x_i se obtiene con el cociente de determinantes:

\boxed{x_i=\dfrac{|A_{x_i}|}{|A|}}