La regla de Sarrus

La regla de Sarrus es un método geométrico que simplifica el cálculo de determinantes de orden 3.
Sea la matriz de orden 3:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}

El determinante de esta matriz es:

|A|=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})

Observamos que hay tres sumandos que suman y otros tres que restan.
Aprender esta fórmula de memoria es un poco complicado así que hay un método geométrico que nos sirve para simplificar el cálculo.
Primero ampliamos la matriz repitiendo las dos primeras filas en la parte de abajo:

\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\hline a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}

Luego multiplicamos los elementos de cada línea, sumando los productos si es verde y restándolos si es roja:

sarrus1

Otra forma más rápida aunque más complicada es utilizando estos triángulos:

  • Los que suman:
    sarrus2
  • y los que restan
    sarrus3

Multiplicando los valores de cada línea o triángulo obtenemos el valor del determinante de orden 3 que ya vimos antes:

|A|=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})