Método de completar el cuadrado

El método de completar el cuadrado es un método para escribir un polinomio de segundo grado de forma que la variable x aparezca una sola vez. Se puede utilizar para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado o simplemente para escribirlo de esa forma.

El método busca escribir el polinomio ax^2+bx+c en la forma a(x+r)^2+s. Entonces, si:

ax^2+bx+c=a(x+r)^2+s

desarrollando el segundo miembro, tenemos:

a(x+r)^2+s=a(x^2+r^2+2rx)+s=\\\\=ax^2+2arx+(ar^2+s)

comparando con ax^2+bx+c obtenemos:

\bullet~b=2ar\\\bullet~c=ar^2+s

De la primera ecuación obtenemos

r=\dfrac b{2a}

y de la segunda

s=c-ar^2=c-a\cdot\left(\dfrac b{2a}\right)^2\\\\s=\dfrac{4ac-b^2}{4a}

Luego, un polinomio de segundo grado, se puede escribir:

\boxed{ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}}


Soluciones de la ecuación de segundo grado.

Resolver la ecuación ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0

es equivalente a resolver la ecuación

a\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}=0

Vamos a resolverla:

a\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}=0~;\\\\a\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}~;\\\\\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

Tomando raíces cuadradas en ambos miembros:

x+\dfrac b{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~;\\\\x=\dfrac{-b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}


Integrales inmediatas de tipo arcotangente.

En las integrales del tipo \displaystyle\int\dfrac{N}{ax^2+bx+c}, con N=cte y donde el denominador no tiene raíces reales, hemos de utilizar el método de completar el cuadrado para transformar el denominador y escribirlo de la forma

\displaystyle\int\dfrac N{a(x+r)^2+s}

siendo r=\dfrac b{2a} y s=\dfrac{4ac-b^2}{4a}. Después de algunas transformaciones, es fácil llegar a obtener una integral de tipo arcotangente \left(\int\frac{f'}{f^2+1}=\arctan(f)\right).

\displaystyle\int\dfrac N{a(x+r)^2+s}~dx=\int\dfrac{\frac Ns}{\frac as(x+r)^2+1}~dx=\\\\=\int\dfrac{\frac Ns}{\left(\sqrt{\frac as}(x+r)\right)^2+1}~dx=\dfrac N{\sqrt{as}}\int\dfrac{\sqrt{\frac as}}{\left(\sqrt{\frac as}(x+r)\right)^2+1}~dx=\\\\=\dfrac N{\sqrt{as}}\arctan\left(\sqrt{\frac as}(x+r)\right)+k