Problema 1865

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, Monotonía, optimización, Puntos críticoseMatecs

Una imprenta debe diseñar un cartel con 90 $\text{cm}^2$ de área para texto y además, con margen superior 3 cm, inferior 2 cm y márgenes laterales 4 cm cada uno.

a) Realice un dibujo planteando el problema.
b) Calcule las dimensiones (anchura y altura) que debe tener el cartel de manera que se utilice la menor cantidad de papel posible.

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Problema 1864

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIRegla de Cramer, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-FröbeniuseMatecs

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro t.

$\left\{\begin{array}{rl}tx+y-2z&=0\\x+y-tz&=-1\\x+y+z&=t\end{array}\right.$

a) Determine para qué valores de t el sistema tiene solución única. Resuélvalo para t = 0 si es posible.
b) Determine para qué valores de t el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) Determine para qué valores de t el sistema no tiene solución.

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Problema 1863

📖Distribución normal, Selectividad Mat IIDistribución normal, TipificacióneMatecs

El peso en kilos de la población de un cierto pais sigue una distribución normal de media 70 y desviación típica 10. Se selecciona un individuo al azar.

a) Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre 65 y 75 kilos.
b) Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de 75 es 0.6 ¿Cuál es la nueva media?

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Problema 1862

📖Probabilidad, Selectividad Mat IIDiagrama de árbol, Probabilidad, Probabilidad total, Teorema de BayeseMatecs

Se tienen tres sobres, A, B y C. En el sobre A hay dos cartas de copas y tres de bastos. En el sobre B tres cartas de copas y dos de bastos y en el sobre C cuatro de copas y una de bastos. Se tira un dado y se saca una carta del sobre A si el resultado es impar, del sobre B si el resultado es 4 o 6 y del sobre C si el resultado es un 2.

a) Calcula la probabilidad de que se obtenga una carta de bastos.
b) Se extrae una carta y resulta ser copas ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído del sobre B?

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Problema 1861

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IICondición de paralelismo, Punto simétrico, rectas y planoseMatecs

Dados dos planos $\pi:~x+y+z=3,~\pi':~x+y=3$ y el punto A = (2, 1, 6)

a) Calcula un vector director y un punto de la recta r intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$ .
b) Calcula el punto P de $\pi$ tal que el segmento AP es perpendicular al plano $\pi$ .
c) Calcula el punto A′ simétrico de A respecto del plano $\pi$ .

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Problema 1860

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, Posiciones relativas, rectas y planoseMatecs

Sea r la recta que pasa por los puntos A = (1, 0, 1) y B = (2, 1, 2) y s la recta

$s:~\dfrac{x-2}1=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac z1$

a) Indica la posición relativa de r y s.
b) Calcula un plano paralelo a r y que contiene a s.
c) Calcula la distancia entre las rectas r y s.

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Problema 1859

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfunciones, integrales, Integrales definidas, Integrales indefinidas, Regla de BarroweMatecs

Se considera la función $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$ .

a) Calcula una primitiva de $f(x)$ , que pase por el punto (−1, 0). (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable $t=1-x^2$ )
b) Calcula $\displaystyle\int_0^1f(x)~dx$

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Problema 1858

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Curvatura, Dominios, funciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Punto de inflexión, Puntos críticos, Representación de funcioneseMatecs

Se considera la función:

$f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$

a) Calcula el dominio de f y las asíntotas, en caso de que tenga.
b) Estudia la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad.
c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de f.

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Problema 1857

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIRegla de Cramer, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-FröbeniuseMatecs

Dado $a\in\mathbb R$ , se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

$\left\{\begin{array}{rl}-x+2y&=-1\\-x+2y+2z&=1\\ax-2y+z&=2\end{array}\right.$

a) Discute el sistema según los valores de a.
b) Estudia si es posible encontrar un valor de a para el cual la solución del sistema verifique que x = 0.
c) Si a = 0, resuelve el sistema si es posible.

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Problema 1856

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IImatrices y determinantes, Matriz inversa, Rangos de matriceseMatecs

Sea $a\in\mathbb R$ y $P=\begin{pmatrix}-1&-1&2\\0&1&2\\-1&-1&a\end{pmatrix}$

a) Calcula el determinante y el rango de P para cada valor de a.
b) Para a = 1 ¿existe $P^{-1}$ ? En caso afirmativo calcúlala.
c) Calcula, en caso de que exista, los valores de a tal que $det(P)=det(P^{-1})$ .

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