Problema 1748

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IICondición de paralelismo, Condición de perpendicularidad, Distancias, rectas y planoseMatecs

Tomemos el plano $\pi:~2x+ay+z=2$ y la recta $r(t):~(0,0,0)+t(2,1,1)$ .

a) Determine a para que r y $\pi$ sean ortogonales.
b) Determine a para que r y $\pi$ sean paralelos. Calcule la distancia entre r y $\pi$ en este caso.

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Problema 1747

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIDerivadas, integrales, Integrales indefinidas, Método de integración por partes, Regla de BarroweMatecs

Considere la función $f(x)=(x+10)e^{2x}$ .

a) Calcule una primitiva $F(x)$ tal que $F(0)=0$ . Use la derivada para comprobar su solución.
b) Calcule $\int_0^5f(x)~dx$ .

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Problema 1746

📖Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IIPropiedades de los determinantes, sistemas de ecuaciones, Teorema de Rouché-FröbeniuseMatecs

Considere el sistema $\begin{pmatrix}t&1&1\\t&-1&1\\t&0&t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ dependiente del parámetro t.

a) Clasifique, en función del valor de t, el tipo de sistema.
b) Calcule todas las soluciones del sistema en el caso t=1.

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Problema 1745

📖Probabilidad, Selectividad Mat IIDistribución binomial, ProbabilidadeMatecs

La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es 0,75. Se sabe además que una persona escribe a lo largo del día 20 mensajes de Twitter.
A partir de esta información, responde a las siguientes cuestiones. NO es necesario finalizar los cálculos en ninguna de ellas, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en un día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga faltas de ortografía?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí tengan faltas de ortografía?

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Problema 1744

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funciones, Integral racional, Integrales definidas, Monotonía, Puntos críticoseMatecs

Considere la función:

$f(x)=\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$

a) Determine las asíntotas de la función, si existen.
b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.
c) Determine la integral $\int_1^3f(x)~dx$ .

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Problema 1743

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IIÁreas, Producto vectorial, rectas y planoseMatecs

a) Determine la ecuación del plano determinado por el punto P ∶ (2, 1, 2) y la recta $r:~(1,0,0)+t(-1,1,1)$ .

b) Dados los vectores $\vec u=(1,2,0)\text{ y }\vec v=(2,1,-3)$ , determine el área del triángulo que tiene por lados esos dos vectores.

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Problema 1742

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones IImatrices y determinantes, Propiedades de los determinantes, Regla de Cramer, sistemas de ecuacioneseMatecs

a) El club deportivo Collarada está formado por 60 deportistas de las siguientes disciplinas: esquí alpino, esquí nórdico y escalada. Se sabe que hay 16 deportistas menos de esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada. Además, el número de deportistas de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de deportistas de esquí nórdico. Calcula el número de deportistas de cada disciplina.

b) Sabiendo que a = −2, calcule el valor del siguiente determinante.

$\begin{vmatrix}a&a+b&a-c\\2a&3a+2b&4a-2c\\3a&6a+3b&10a-3c\end{vmatrix}$

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Problema 1741

📖Probabilidad, Selectividad Mat IIDiagrama de árbol, Probabilidad, Teorema de BayeseMatecs

Se dispone de dos cajas, la caja A contiene 3 bolas moradas y 2 bolas rojas; mientras que la caja B contiene 4 bolas moradas y 4 rojas.

a) Se escoge una bola cualquiera de la caja A y se pasa a la caja B. Posteriormente se saca una bola de la caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la caja B sea morada?
b) Ahora volvemos a la situación original de las cajas; la A contiene 3 moradas y 2 rojas y la B contiene 4 moradas y 4 rojas. Seleccionamos una caja al azar y se saca una bola que resulta ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea de la caja A?

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Problema 1740

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, Integral racional, límites, Puntos críticos, Test de la derivada segundaeMatecs

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), donde a > 0 y b > 0 y además el punto (a, b), está situado en la curva de ecuación:

$y=\dfrac1{x^2}+9$

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine:

$\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx$

c) Determine el valor de la constante k para que se verifique que:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=2$

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Problema 1739

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IIProducto vectorial, vectoreseMatecs

a) Determine el valor de las constantes a y b para que los puntos siguientes estén alineados A ∶ (1, 1, 2), B ∶ (2, 2, 2) y C ∶ (−1, a, b) y determine la recta que los contiene.

b) Dados dos vectores $\vec u\text{ y }\vec v$ , calcule el vector: