Problema 1642

Dada la función f(x)=\frac{1-x^2}{x^2-4}, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiera.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores.

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Problema 1641

En una empresa de 57 trabajadores el gasto en salarios en este mes ha sido de 62000 euros. En la empresa hay trabajadores de tres categorías, denominadas A, B y C. Este mes el salario de los trabajadores de la categoría A ha sido de 800 euros, el de los trabajadores de la categoría B de 1000 euros y el de los trabajadores de la categoría C de 2000 euros. Una auditoría externa ha indicado que la desigualdad salarial entre los trabajadores de la empresa es excesiva, por lo que se ha decidido que el próximo mes se incrementará en un 4% el salario a los trabajadores de la categoría A, se mantendrá el salario a los trabajadores de la categoría B y se rebajará en un 10% el salario a los trabajadores de la categoría C. De esta manera, el gasto de la empresa en salarios en el próximo mes será un 2% inferior al gasto en salarios de este mes. ¿Cuántos trabajadores de cada categoría tiene la empresa?

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Problema 1640

En una explotación ganadera se crían 100 animales. Cada ejemplar necesita diariamente como mínimo 5 kg de piensos de origen animal y como mínimo 3 kg de piensos de origen vegetal. Hay dos marcas A y B que venden sacos con mezclas de dichos piensos. La marca A vende sacos con 7 kg de piensos animales y 3 kg de piensos vegetales. La marca B vende sacos con 6 kg de piensos animales y 4 kg de piensos vegetales. Si los sacos de la marca A cuestan 12 euros y los de la marca B cuestan 11 euros,

a) ¿cuál es la combinación de compra de sacos de cada marca que se ha de realizar semanalmente para minimizar el coste?
b) ¿cuál sería dicho coste mínimo?

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Problema 1638

Hacemos dos pruebas de consumo de combustible en un vehículo: en la primera, el vehículo recorre 200 km por carretera y 100 km por ciudad, y consume un total de 17 litros, mientras que en la segunda recorre 300 km por carretera y 50 km por ciudad, consumiendo 17,5 litros. Suponiendo que los consumos medios por carretera y por ciudad son siempre constantes:

a) ¿Cuál es el consumo medio por 100 km en cada una de las dos pruebas?
b) ¿Cuántos litros consumirá el mismo vehículo si en una tercera prueba recorre 400 km por carretera y 150 km por ciudad?

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Problema 1637

Suponga que la temperatura del agua del mar en una zona concreta es dada por la función f(x)=\frac{x^2+5x+4}{x^2+4}, donde x representa la profundidad en metros negativos (por ejemplo, f(–5) representa el valor de la temperatura del agua en grados Celsius a 5 metros de profundidad).

a) ¿Cuál es la temperatura del agua en la superficie? A qué profundidades la temperatura es de cero grados? ¿Hacia qué valor tiende la temperatura cuando bajamos a mucha profundidad?
b) Calcule a qué profundidad la temperatura es más baja y cuál es el valor de ésta temperatura mínima.

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Problema 1636

Una empresa de productos lácteos ingresó el pasado año un total de 1.800.000 euros por las ventas de quesos. Las exportaciones a la Unión Europea aportaron tantos ingresos como las ventas a nivel estatal y las exportaciones a países extracomunitarios juntas. Éste año la empresa ha ingresado 1.950.000 euros y sabemos que las ventas estatales han disminuido un 5%, las exportaciones a la Unión Europea han aumentado un 15% y las exportaciones a países extracomunitarios han aumentado un 10%. Determine las cantidades que ingresó por cada concepto (ventas en el ámbito estatal, exportaciones a la Unión Europea y exportación a países extracomunitarios) el año pasado, así como las cantidades que ha ingresado este año.

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Problema 1635

Con el fin de vender un exceso de producción de 100 bañadores y 200 pares de chancletas, una tienda de ropa de playa prepara dos promociones: la oferta azul y la oferta amarilla. La oferta azul consiste en un lote con tres pares de chancletas y un bañador por 50 euros, y la oferta amarilla, en un lote con un par de chancletas y dos bañadores por 30 euros. Para cumplir los propósitos de la tienda, sería necesario que el número de lotes vendidos de la oferta azul fuese la mitad o más que el número de lotes vendidos de la oferta amarilla.

a) Determine la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región de las posibles opciones de venta que tiene la tienda.
b) ¿Cuántos lotes de cada tipo se tendrán que vender para optimizar los ingresos? ¿Cuánto serán estos ingresos?

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Problema 1633

Considere la función real de variable real f(x)=4x^3+ax^2-2.

a) Determine el valor del parámetro real a para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = –1.
b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) cuando a=12. Indique también los puntos en los que hay extremos relativos y clasifíquelos.

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