Posiciones relativas de dos planos en el espacio

Dos planos escritos en forma implícita.

Sean los dos planos \pi_1:~A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 y \pi_2:~A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.
A partir de los coeficientes de las ecuaciones construimos las siguientes matrices:

M=\begin{pmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}A_1&B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\end{pmatrix}.

Entonces:

  • Si \text{rg}(M)=2, entonces los dos planos se cortan según una recta.dos planos se cortan
  • Si \text{rg}(M)=\text{rg}(M^*)=1, entonces los dos planos son coincidentes:plano contenido en otro
  • Si \text{rg}(M)=1 y \text{rg}(M^*)=2, entonces los dos planos son paralelos:dos planos paralelos

Un plano en implícita y otro en paramétricas.

Para estudiar la posición relativa de dos planos escritos uno en implícita y otro en forma paramétrica, con parámetros (\lambda,\mu), lo que hacemos es sustituir las paramétricas de un plano en la implícita del otro.
Hecho esto, resulta una ecuación que tiene la siguiente forma:

a\lambda+b\mu+c=0

  • Si a≠0 o b≠0 entonces los planos se cortan según una recta.
  • Si a=0 y b=0 entonces podemos obtener las dos siguientes situaciones
    – Si la ecuación adopta la forma 0=0 entonces los planos son coincidentes.
    – Si la ecuación adopta la forma c≠0, entonces los planos son paralelos.

Ver como ejemplo el problema 875.