Posición relativa de dos rectas en el espacio

Dadas dos rectas r y s, obtenemos un punto cualquiera de cada recta P_r y P_s, así como sus vectores directores \vec v_r y \vec v_s. Las posiciones relativas de ambas rectas dependen de los rangos que tienen las matrices  \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix} y \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}, de la siguiente manera:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}&\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}&\mbox{Posiciones relativas}\\\hline\hline1&1&\mbox{Rectas coincidentes}\\\hline 1&2&\mbox{Rectas paralelas}\\\hline 2&2&\mbox{Rectas secantes}\\\hline 2&3&\mbox{Rectas se cruzan}\\\hline\end{array}

(Véase como ejemplo el problema 402)

  • Si alguna de las rectas está escrita en forma implícita, se recomienda pasarla a forma paramétrica para obtener rápidamente el punto y el vector director de la recta.

Posiciones relativas de dos rectas


Si ambas rectas están en implícitas

Con las dos ecuaciones implícitas de cada recta formamos un sistema y obtenemos la matriz de coeficientes M y M*. Entonces calculamos el rango de cada una de estas matrices, y en función de dichos rangos la posición de las rectas es:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{rg}M&\mbox{rg}M^*&\mbox{Posiciones relativas}\\\hline\hline2&2&\mbox{Rectas coincidentes}\\\hline 2&3&\mbox{Rectas paralelas}\\\hline 3&3&\mbox{Rectas secantes}\\\hline 3&4&\mbox{Rectas se cruzan}\\\hline\end{array}