Posiciones relativas de tres planos en el espacio.

Sean los tres planos

\alpha_1\equiv~A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\\alpha_2\equiv~A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\\alpha_3\equiv~A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0

Con las ecuaciones implícitas de los tres planos formamos un sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{c}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\end{array}\right.

cuyas matrices de coeficientes y ampliada son:

M=\begin{pmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_3&B_3&C_3\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}A_1&B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\\A_3&B_3&C_3&D_3\end{pmatrix}

También tenemos en cuenta los vectores normales de cada plano:

\vec n_1=(A_1,B_1,C_1)\\\vec n_2=(A_2,B_2,C_2)\\\vec n_3=(A_3,B_3,C_3)


La posición relativa de los tres planos depende de rg(M), rg(M*) y de otra condición.

rg(M) rg(M*) Otra condición Posición relativa
3 3 Los tres planos se cortan en un punto
2 3 Dos vectores normales paralelos Dos planos son paralelos y uno los corta
2 3 No hay vectores normales paralelos Los tres planos se cortan dos a dos
2 2 Dos vectores normales paralelos Dos planos coincidentes y uno los corta en una recta
2 2 No hay vectores normales paralelos Tres planos no paralelos se cortan en una recta
1 2 No hay dos ecuaciones implícitas proporcionales Tres planos paralelos
1 2 Hay dos ecuaciones implícitas proporcionales Dos planos coincidentes y uno paralelo
1 1 Los tres planos son coincidentes

Tres planos se cortan en un punto.

Los tres planos se cortan en el punto P.

tresplanos_1


Dos planos son paralelos y uno los corta.

Los tres planos no tienen ningún punto en común.

tresplanos2


Los tres planos se cortan dos a dos.

Los tres planos no tienen ningún punto en común.

tresplanos3

 


Dos planos coincidentes y uno que los corta en una recta.

Los tres planos se cortan en una recta r.

tresplanos4


Tres planos no paralelos se cortan en una recta.

Los tres planos se cortan en una recta r.

tresplanos5


Tres planos paralelos.

Los tres planos no tienen ningún punto en común.

tresplanos6


Dos planos coincidentes y uno paralelo.

Los tres planos no tienen ningún punto en común.

tresplanos7


Tres planos coincidentes.

Los puntos en común son los del propio plano.

tresplanos8