Posiciones relativas de tres planos en el espacio.

Sean los tres planos

$\alpha_1\equiv~A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\\alpha_2\equiv~A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\\alpha_3\equiv~A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0$

Con las ecuaciones implícitas de los tres planos formamos un sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{c}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\end{array}\right.$

cuyas matrices de coeficientes y ampliada son:

$M=\begin{pmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_3&B_3&C_3\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}A_1&B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\\A_3&B_3&C_3&D_3\end{pmatrix}$

También tenemos en cuenta los vectores normales de cada plano:

$\vec n_1=(A_1,B_1,C_1)\\\vec n_2=(A_2,B_2,C_2)\\\vec n_3=(A_3,B_3,C_3)$

La posición relativa de los tres planos depende de rg(M), rg(M*) y de otra condición.

rg(M)	*rg(M)**	Otra condición	Posición relativa
3	3		Los tres planos se cortan en un punto
2	3	Dos vectores normales paralelos	Dos planos son paralelos y uno los corta
2	3	No hay vectores normales paralelos	Los tres planos se cortan dos a dos
2	2	Dos vectores normales paralelos	Dos planos coincidentes y uno los corta en una recta
2	2	No hay vectores normales paralelos	Tres planos no paralelos se cortan en una recta
1	2	No hay dos ecuaciones implícitas proporcionales	Tres planos paralelos
1	2	Hay dos ecuaciones implícitas proporcionales	Dos planos coincidentes y uno paralelo
1	1		Los tres planos son coincidentes