Problema 1465

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro \alpha:

\left\{\begin{array}{rl}\alpha x-y+z&=1\\3x-y+\alpha z&=\alpha\\x+(\alpha-1)z&=1\end{array}\right.

Resolver el sistema para \alpha=3, si es posible.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

M=\begin{pmatrix}\alpha&-1&1\\3&-1&\alpha\\1&0&\alpha-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}\alpha&-1&1&1\\3&-1&\alpha&\alpha\\1&0&\alpha-1&1\end{pmatrix}

Calculamos las raíces del determinante de M:

\begin{vmatrix}\alpha&-1&1\\3&-1&\alpha\\1&0&\alpha-1\end{vmatrix}=-\alpha(\alpha-1)-\alpha+1+3(\alpha-1)=0~;\\\\-\alpha^2+\alpha-\alpha+1+3\alpha-3=0~;\\\\-\alpha^2+3\alpha-2=0

Ecuación cuyas soluciones son \alpha=1,~\alpha=2.

  • Si \alpha\neq1 y \alpha\neq2 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si \alpha=1 entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\3&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}3&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&-1&1&1\\3&-1&1&1\\1&0&0&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&-1&1\\3&-1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=-1-1+1+3=2\neq0
    Luego rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si \alpha=2 entonces M=\begin{pmatrix}2&-1&1\\3&-1&2\\1&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}3&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0.
  • Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}2&-1&1&1\\3&-1&2&2\\1&0&1&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}2&-1&1\\3&-1&2\\1&0&1\end{vmatrix}=-2-2+1+3=0
    Luego rg(M*)=2 y el sistema es compatible determinado.

Si \alpha=3 tenemos:

M=\begin{pmatrix}3&-1&1\\3&-1&3\\1&0&2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}3&-1&1&1\\3&-1&3&3\\1&0&2&1\end{pmatrix}

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1&1\\3&-1&3\\1&0&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-1&1\\3&-1&3\\1&0&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-2-3+1+6}{-3^2+3\cdot3-2}=\dfrac2{-2}=-1\\\\y=\dfrac{\begin{vmatrix}3&1&1\\3&3&3\\1&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-1&1\\3&-1&3\\1&0&2\end{vmatrix}}=\dfrac{18+3+3-3-6-9}{-2}=\dfrac6{-2}=-3\\\\z=\dfrac{\begin{vmatrix}3&-1&1\\3&-1&3\\1&0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-1&1\\3&-1&3\\1&0&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-3-3+1+3}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1

Vas-MII-O-21-A1

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