Propiedades de los determinantes

1. Si una fila(columna) de la matriz es combinación lineal de otras filas(columnas), entonces su determinante vale 0. También son combinación lineal de otras filas(columnas) las que son proporcionales, las que son iguales y las que son nulas. En todos estos casos el determinante vale 0.

\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\5&7&9\end{vmatrix}=0\qquad\mbox{ ya que }F_3=F_2+F_1

\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\3&6&9\end{vmatrix}=0\qquad\mbox{ ya que }F_3=3F_1

\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\1&2&3\end{vmatrix}=0\qquad\mbox{ ya que }F_3=F_1

\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\qquad\mbox{ ya que todos los elementos de una fila son 0}


2. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:

|A^t|=|A|


3. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices:

|AB|=|A||B|

Esto implica que

|A^n|=|A|^n


4. El determinante de la matriz inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante de dicha matriz.

|A^{-1}|=\displaystyle \frac 1{|A|}


5. Si se intercambian dos filas(columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo:

\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}


6. Si todos los elementos de una fila(columna) de una matriz son multiplicados por un mismo número k, entonces el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número:

\begin{vmatrix}ka&kb\\c&d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}

Esto implica que

|k\cdot A|=k^n|A|

siendo n el orden de la matriz cuadrada A.


7. Si una fila(columna) de una matriz se puede escribir como suma de dos elementos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes donde dicha fila(columna) es respectivamente cada uno de los sumandos:

\begin{vmatrix}a+b&c+d\\e&f\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&c\\e&f\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b&d\\e&f\end{vmatrix}