Razones trigonométricas de 18°

Sea \alpha=18^\circ. Sabemos que 18^\circ=\dfrac{90^\circ}5, luego 5\alpha=90^\circ.
Comenzamos calculando el seno de 18°:

5\alpha=2\alpha+3\alpha=90^\circ~;\\\\\text{sen}2\alpha=\text{sen}(90^\circ-3\alpha)~;\\\\\text{sen}2\alpha=\cos3\alpha

Dado que \text{sen}2\alpha=2\cos\alpha\text{sen}\alpha y que \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha entonces:

2\cos\alpha\text{sen}\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha

de donde:

\cos\alpha(4\cos^2\alpha-3-2\text{sen}\alpha)=0

Dado que \cos^2\alpha=1-\text{sen}^2\alpha resulta:

\cos\alpha(4(1-\text{sen}^2\alpha)-3-2\text{sen}\alpha)=0~;\\\\\cos\alpha(-4\text{sen}^2\alpha-2\text{sen}\alpha+1)=0

Resolviendo la ecuación de segundo grado en \text{sen}\alpha obtenemos las soluciones:

\text{sen}\alpha=\dfrac{-1\pm\sqrt5}4

Descartando el resultado negativo obtenemos:

\boxed{\text{sen}18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt5}4=\dfrac{\varphi-1}2}

El coseno es:

\boxed{\cos18^\circ=\sqrt{1-\text{sen}^218^\circ}=\dfrac{\sqrt{2\sqrt5+10}}4=\dfrac{\sqrt{2+\varphi}}2}

Y la tangente:

\boxed{\tan18^\circ=\dfrac{\text{sen}18^\circ}{\cos18^\circ}=\dfrac{-1+\sqrt5}{\sqrt{2\sqrt5+10}}=\dfrac{\varphi-1}{\sqrt{2+\varphi}}}

siendo \varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2 el número áureo.