Razones trigonométricas de 18°

Sea $\alpha=18^\circ$ . Sabemos que $18^\circ=\dfrac{90^\circ}5$ , luego $5\alpha=90^\circ$ .
Comenzamos calculando el seno de 18°:

$5\alpha=2\alpha+3\alpha=90^\circ~;\\\\\text{sen}2\alpha=\text{sen}(90^\circ-3\alpha)~;\\\\\text{sen}2\alpha=\cos3\alpha$

Dado que $\text{sen}2\alpha=2\cos\alpha\text{sen}\alpha$ y que $\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$ entonces:

$2\cos\alpha\text{sen}\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$

de donde:

$\cos\alpha(4\cos^2\alpha-3-2\text{sen}\alpha)=0$

Dado que $\cos^2\alpha=1-\text{sen}^2\alpha$ resulta:

$\cos\alpha(4(1-\text{sen}^2\alpha)-3-2\text{sen}\alpha)=0~;\\\\\cos\alpha(-4\text{sen}^2\alpha-2\text{sen}\alpha+1)=0$

Resolviendo la ecuación de segundo grado en $\text{sen}\alpha$ obtenemos las soluciones:

$\text{sen}\alpha=\dfrac{-1\pm\sqrt5}4$

Descartando el resultado negativo obtenemos:

$\boxed{\text{sen}18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt5}4=\dfrac{\varphi-1}2}$

El coseno es:

$\boxed{\cos18^\circ=\sqrt{1-\text{sen}^218^\circ}=\dfrac{\sqrt{2\sqrt5+10}}4=\dfrac{\sqrt{2+\varphi}}2}$

Y la tangente:

$\boxed{\tan18^\circ=\dfrac{\text{sen}18^\circ}{\cos18^\circ}=\dfrac{-1+\sqrt5}{\sqrt{2\sqrt5+10}}=\dfrac{\varphi-1}{\sqrt{2+\varphi}}}$

siendo $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2$ el número áureo.

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