Tabla de derivadas

a, n son constantes
f, g son funciones de x

Reglas de derivación

\begin{array}{|l|l|l|}\hline\text{Suma y resta de funciones}&(f+g)'=f'+g'&(f-g)'=f'-g'\\\hline\text{Producto y cociente por una constante}&(af)'=af'&\left(\dfrac fa\right)'=\dfrac{f'}a\\\hline\text{Producto y cociente de funciones}&(f\cdot g)'=f'g+fg'&\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\\\hline\text{Funciones compuestas}&(g(f))'=g'(f)\cdot f'&\\\hline\end{array}

Tabla de derivadas

\begin{array}{|l|l|l|}\hline&\text{Simple}&\text{Compuesta}\\\hline\hline\text{Constante}&(a)'=0&\\\hline\text{Potencial}&(x^a)'=ax^{a-1}&(f^a)'=af^{a-1}f'\\\hline\text{Raiz cuadrada}&\big(\sqrt x\big)'=\dfrac1{2\sqrt x}&\big(\sqrt f\big)'=\dfrac{f'}{2\sqrt f}\\\hline\text{Exponencial}&\begin{array}{l}(e^x)'=e^x\\(a^x)'=a^x\ln a\end{array}&\begin{array}{l}(e^f)'=e^ff'\\(a^f)'=a^ff'\ln a\end{array}\\\hline\text{Logaritmo}&\begin{array}{l}(\ln x)'=\dfrac1x\\(\log_ax)'=\dfrac1{x\ln a}\end{array}&\begin{array}{l}(\ln f)'=\dfrac{f'}f\\(log_af)'=\dfrac{f'}{f\ln a}\end{array}\\\hline\text{Seno}&(\text{sen}(x))'=\cos(x)&(\text{sen}(f))'=\cos(f)f'\\\hline\text{Coseno}&(\cos(x))'=-\text{sen}(x)&(\cos(f))'=-\text{sen}(f)f'\\\hline\text{Tangente (*)}&(\text{tg}(x))'=\sec^2(x)&(\text{tg}(f))'=\sec^2(f)f'\\\hline\text{Arcoseno}&(\text{arcsen}(x))'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}&(\text{arcsen}(f))'=\dfrac{f'}{\sqrt{1-f^2}}\\\hline\text{Arcocoseno}&(\text{arccos}(x))'=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}&(\text{arccos}(f))'=\dfrac{-f'}{\sqrt{1-f^2}}\\\hline\text{Arcotangente}&(\text{arctg}(x))'=\dfrac1{1+x^2}&(\text{arctg}(f))'=\dfrac{f'}{1+f^2}\\\hline\end{array}

Tabla descargable


Otras fórmulas de derivación

  • Función potencial-exponencial

\boxed{\begin{aligned}(f^g)'&=g\cdot f^{g-1}\cdot f'+f^g\cdot\ln f\cdot g'=\\&=f^g\left(\dfrac{gf'}f+g'\ln f\right)\end{aligned}}

  • Constante entre una función

\boxed{\left(\dfrac af\right)'=\dfrac{-af'}{f^2}}

  • Raíz enésima de una función

\boxed{\left(\sqrt[n]{f^a}\right)'=\dfrac{af'}{n\sqrt[n]{f^{n-a}}}}


(*) Igualdades trigonométricas

\sec^2(x)=1+\text{tg}^2(x)=\dfrac1{\cos^2(x)}


Derivada del logaritmo neperiano de x utilizando la definición

Recordamos que la derivada de una función es por definición el límite:

\boxed{f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h}

En el caso de que f(x)=\ln x:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\ln(x+h)-\ln(x)}h=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\ln\left(\frac{x+h}x\right)}h=\\\\=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac1h\cdot\ln\left(1+\dfrac hx\right)=\lim_{h\rightarrow0}\ln\left(1+\dfrac hx\right)^{\frac1h}=\\\\=\ln\lim_{h\rightarrow0}\left(1+\dfrac hx\right)^{\frac1h\cdot\frac xx}=\ln\left[\lim_{h\rightarrow0}\left(1+\dfrac hx\right)^{\frac xh}\right]^{\frac1x}=\\\\=\ln[e]^{\lim_{h\rightarrow0}\frac1x}=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac1x=\dfrac1x\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac1x}


Derivada del producto de funciones.

Sea y=f\cdot g. Nos piden la derivada de y. Comenzamos aplicando logaritmos:

\ln y=\ln(f\cdot g)~;\\\\\ln y=\ln f+\ln g

Derivamos ambos miembros:

\dfrac1y\cdot y'=\dfrac{f'}f+\dfrac{g'}g\\\\y'=\dfrac{f'g+fg'}{fg}\cdot y

Dado que y=f\cdot g, entonces:

y'=\dfrac{f'g+fg'}{fg}\cdot fg\\\\\boxed{y'=f'g+fg'}


Derivada de un cociente de funciones.

Sea y=\dfrac fg. Nos piden la derivada de y. Comenzamos aplicando logaritmos:

\ln y=\ln\left(\dfrac fg\right)~;\\\\\ln y=\ln f-\ln g

Derivamos ambos miembros:

\dfrac 1y\cdot y'=\dfrac{f'}f-\dfrac{g'}g\\\\y'=\left(\dfrac{f'g-fg'}{fg}\right)\cdot y

Dado que y=\dfrac fg, entonces:

y'=\left(\dfrac{f'g-fg'}{fg}\right)\cdot\dfrac fg~;\\\\\boxed{y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}}