Tabla de derivadas

Derivada del logaritmo neperiano de x utilizando la definición

Recordamos que la derivada de una función es por definición el límite:

\boxed{f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h}

En el caso de que f(x)=\ln x:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\ln(x+h)-\ln(x)}h=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\ln\left(\frac{x+h}x\right)}h=\\\\=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac1h\cdot\ln\left(1+\dfrac hx\right)=\lim_{h\rightarrow0}\ln\left(1+\dfrac hx\right)^{\frac1h}=\\\\=\ln\lim_{h\rightarrow0}\left(1+\dfrac hx\right)^{\frac1h\cdot\frac xx}=\ln\left[\lim_{h\rightarrow0}\left(1+\dfrac hx\right)^{\frac xh}\right]^{\frac1x}=\\\\=\ln[e]^{\lim_{h\rightarrow0}\frac1x}=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac1x=\dfrac1x\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac1x}

Derivada del producto de funciones.

Sea y=f\cdot g. Nos piden la derivada de y. Comenzamos aplicando logaritmos:

\ln y=\ln(f\cdot g)~;\\\\\ln y=\ln f+\ln g

Derivamos ambos miembros:

\dfrac1y\cdot y'=\dfrac{f'}f+\dfrac{g'}g\\\\y'=\dfrac{f'g+fg'}{fg}\cdot y

Dado que y=f\cdot g, entonces:

y'=\dfrac{f'g+fg'}{fg}\cdot fg\\\\\boxed{y'=f'g+fg'}

Derivada de un cociente de funciones.

Sea y=\dfrac fg. Nos piden la derivada de y. Comenzamos aplicando logaritmos:

\ln y=\ln\left(\dfrac fg\right)~;\\\\\ln y=\ln f-\ln g

Derivamos ambos miembros:

\dfrac 1y\cdot y'=\dfrac{f'}f-\dfrac{g'}g\\\\y'=\left(\dfrac{f'g-fg'}{fg}\right)\cdot y

Dado que y=\dfrac fg, entonces:

y'=\left(\dfrac{f'g-fg'}{fg}\right)\cdot\dfrac fg~;\\\\\boxed{y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}}