Tabla de integrales inmediatas

a, b, c, M, N son constantes.
f, g son funciones de x.

Reglas de integración

\begin{array}{|l|l|}\hline \text{Suma y resta}&\displaystyle\int(f\pm g)=\displaystyle\int f\pm\int g\\\hline\text{Producto de f por una constante}&\displaystyle\int(af)=a\int f\\\hline\text{Cociente de f entre una constante}&\displaystyle\int\frac fa=\frac1a\int f\\\hline\end{array}

Tabla de integrales inmediatas

\begin{array}{|l|l|l|}\hline&\text{Simple}&\text{Compuesta}\\\hline\hline \text{Potencial}(a\neq-1)&\displaystyle\int x^a~dx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}&\displaystyle\int f^a\cdot f'~dx=\dfrac{f^{a+1}}{a+1}\\\hline\text{Logaritmo}&\displaystyle\int\frac1x~dx=\ln|x|&\displaystyle\int\frac{f'}f~dx=\ln|f|\\\hline\text{Exponencial}&\begin{array}{l}\displaystyle\int e^x~dx=e^x\\\displaystyle\int a^x~dx=\frac{a^x}{\ln a}\end{array}&\begin{array}{l}\displaystyle\int e^f\cdot f'~dx=e^f\\\displaystyle\int a^f\cdot f'~dx=\frac{a^f}{\ln a}\end{array}\\\hline\text{Seno}&\displaystyle\int\cos(x)~dx=\text{sen}(x)&\displaystyle\int\cos(f)\cdot f'~dx=\text{sen}(f)\\\hline\text{Coseno}&\displaystyle\int\text{sen}(x)~dx=-\cos(x)&\displaystyle\int\text{sen}(f)\cdot f'~dx=-\cos(f)\\\hline\text{Tangente (1)}&\displaystyle\int\sec^2(x)~dx=\text{tg}(x)&\displaystyle\int\sec^2(f)\cdot f'~dx=\text{tg}(f)\\\hline\text{Cotangente (1)}&\displaystyle\int\text{cosec}^2(x)~dx=-\text{cotg}(x)&\displaystyle\int\text{cosec}^2(f)\cdot f'~dx=-\text{cotg}(f)\\\hline\text{Arcoseno}&\displaystyle\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}~dx=\text{arcsen}(x)&\displaystyle\int\frac{f'}{\sqrt{1-f^2}}~dx=\text{arcsen}(f)\\\hline\text{Arcotangente}&\displaystyle\int\frac1{1+x^2}~dx=\text{arctg}(x)&\displaystyle\int\frac{f'}{1+f^2}~dx=\text{arctg}(f)\\\hline\end{array}

Tabla descargable

Método de integración por partes

Es un método que transforma una integral que no es inmediata en otra que puede que sí lo sea. La fórmula que sigue a continuación se obtiene por aplicación de la derivada del producto de dos funciones:

\boxed{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}

Se suele tomar como función u las funciones logaritmo, arco e irracionales, y como funciones dv las funciones sen, cos y exponenciales.
Derivando u obtenemos du, e integrando dv obtenemos v.

Ejemplo:

\displaystyle\int\ln x~dx

\begin{array}{ll}u=\ln x&\rightarrow du=\dfrac1x~dx\\dv=dx&\rightarrow v=x\end{array}

Luego, aplicando el método de integración por partes:

\displaystyle\int\ln x~dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac1x~dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+k

  • Integral tipo neperiano-arcotangente (ax^2+bx+c\text{ irreducible}):

\displaystyle\boxed{\int\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}~dx=\frac M{2a}\ln|ax^2+bx+c|+\left(\frac{2aN-bM}{a\sqrt{4ac-b^2}}\right)\text{arctg}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)}

(1) Otras expresiones trigonométricas:

\bullet~\sec^2(x)=1+\text{tg}^2(x)=\dfrac1{\cos^2(x)}\\\bullet~\text{cosec}^2(x)=1+\text{cotg}^2(x)=\dfrac1{\text{sen}^2(x)}

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