Tabla de integrales inmediatas

Método de integración por partes.

Este método lo que hace es convertir una integral que no es inmediata en otra que puede que sí lo sea. La fórmula es una consecuencia de la regla de la derivada del producto de dos funciones u y v:

\boxed{\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du}

Dadas las funciones u y dv, las funciones du y v son la derivada de u y la primitiva de dv respectivamente.

Existen algunas reglas nemotécnicas para ayudarnos a decidir quien será u y quien será dv. Una de ellas es ALPES.

  • A: funciones arco (arcoseno, arcotangente…)
  • L: funciones logarítmicas
  • P: funciones polinómicas
  • E: funciónes exponenciales
  • S: funciones seno, coseno.

Las funciones de más arriba se identificarán por u, las funciones de más abajo se identificarán por dv.


Ejemplo: la integral \displaystyle\int\ln(x)~dx no es inmediata y se consigue calcular con este método:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x)&\rightarrow&du=\dfrac1x~dx\\dv=dx&\rightarrow&v=x\end{array}

Luego:

\displaystyle\int\ln(x)~dx=x\ln(x)-\int x\cdot\dfrac1x~dx=\\\\=x\ln(x)-\int dx=\boxed{x\ln(x)-x+k}

Problemas que utilizan el método de integración por partes.