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Problema 800

Para la campaña de este verano, una tienda de deportes que vende patinetes eléctricos espera vender 40 patinetes a un precio de 1.000 € por patinete. Según un estudio de mercado, la relación entre el número de veces que se rebaja el precio del patinete en 50 € y el número de patinetes vendidos es lineal, y, por cada 50 € de rebaja en el precio de venta de cada patinete, habrá un incremento de las ventas de 10 patinetes más.

a) Escribe la función de ingresos de la tienda en función del número de veces que rebaje en 50 € el precio inicial de 1.000 € del patinete.
b) Hallar cuál debe ser el precio del patinete para obtener los ingresos máximos. Encuentra también el número de patinetes que se venderán y los ingresos que se obtendrán con este precio.

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Problema 797

Un comerciante puede comprar artículos a 350 € la unidad. Si los vende a 750 € la unidad, vende 30. Sabemos que la relación entre estas dos variables (el precio de venta y el número de unidades vendidas) es lineal y que, por cada descuento de 20 € en el precio de venta, incrementa las ventas en 3 unidades. Considerando que el comerciante sólo comprará el número de artículos que sabe que venderá:

a) Escribe la función de beneficios a partir del número de veces x que se aplica el descuento.
b) Determinar el precio de venta que hace máximos los beneficios del comerciante y justifique que es un máximo. Determine cuántas unidades venderá.

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Problema 795

Un nutricionista, después de hacer un estudio personalizado a un paciente, le propone una dieta. Según el modelo del nutricionista, el peso en kilogramos del paciente seguirá la función

f(x)=\dfrac{63x+510}{x+6}

donde x denota el número de meses que hace que sigue la dieta.

a) Justificar que la función f es estrictamente decreciente cuando x ≥ 0.
b) Determinar el peso inicial del paciente y cuánto pesará a los dos meses de seguir la dieta según el modelo. ¿Hacia qué valor tenderá su peso a largo plazo? Argumentad si este valor límite se alcanzará en algún momento.

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Problema 792

Una tienda abre al público desde las 10 horas hasta las 21 horas. Sabemos que los ingresos por ventas, en función de la hora del día, vienen dados por la función:

I(t)=-5(m-t)^2+n

con 10≤t≤21.

a) Encuentre el valor de m sabiendo que los ingresos máximos se producen a las 18 horas.
b) Encuentre el valor de n sabiendo que a las 21 horas hay unos ingresos de 500 €.

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Problema 790

La función f(x)=\dfrac{40}{x^2-22x+125} muestra aproximadamente la venta diaria, en miles de unidades, de un perfume de moda en función de x, donde x es el día del mes de febrero.

a) ¿Cuántas unidades de perfume se vendieron, aproximadamente, el día 5 de febrero? ¿Cuál es el incremento de ventas entre el día 7 y el día 9 de febrero?
b) ¿Qué día del mes de febrero se vendieron más perfumes y cuántas unidades se vendieron?

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Problema 784

De una cierta función f, sabemos que su función derivada es f'(x)=3x^2-3.

a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, y calcule la abscisa de sus extremos relativos.
b) Determine la curvatura de f y halle la abscisa de su punto de inflexión.
c) Calcule la función f, sabiendo que su gráfica pasa por el punto (−1,3).

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Problema 780

El coste de producción de un bien en una fábrica viene dado por C(x)=2(2x-1)^2+1, con 0 ≤ x ≤ 2, donde x es la cantidad producida en millones de kilogramos.

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función C(x).
b) Determine la cantidad a producir para que el coste de producción sea mínimo. ¿Cuál es dicho coste?
c) Realice un esbozo de la gráfica de la función C(x).

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