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Problema 879

Sea r la recta que pasa por los puntos P(1,0,5) y Q(5,2,3).

a) Calcula la distancia del punto A(5,-1,6) a la recta r.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a r y pasa por el punto A(5,-1,6).
c) Calcula el área del triángulo de vértices los puntos P(1,0,5), A(5,-1,6) y el punto de corte de la recta r con el plano \pi:~2x+y-z-3=0.

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Problema 720

Se considera el triángulo T de vértices O=(0,0), A=(x,y) y B=(0,y), siendo x > 0 ,
y > 0 , y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros.
Obtener razonadamente:

a) El área del triángulo T en función de x.
b) El valor de x para el que dicha área es máxima.
c) El valor de dicha área máxima.

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Problema 717

Se consideran las curvas y=x^3,~y=ax y la función f(x)=x^3-ax, siendo a un parámetro real y a>0. Obtener razonadamente:

a) Los puntos de corte de la curva y=f(x) con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f.
b) La gráfica de la función f cuando a=9.
c) Calcular, en función del parámetro a, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas y=x^3\text{ e }y=ax, cuando a>1.
d) El valor del parámetro a para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la cura y=x^3, el eje OX y las rectas x=0 y x=2.

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Problema 714

Dada la función f definida por f(x)=\dfrac{x^2+1}x, para cualquier valor real x\neq0, se pide, obtener razonadamente:

a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f, y los extremos relativos de la función f.
b) Las asíntotas de la curva y=f(x).
c) El área de la región plana limitada por la curva y=\dfrac{x^2+1}x,~1\leq x\leq e, el segmento que une los puntos (1,0) y (e,0), y las rectas x=1 y x=e.

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Problema 706

Se considera la función real de variable real f(x)=x^2+ax.

a) Calcúlese el valor del parámetro real a para que la función f tenga un extremo relativo en x=2. Determínese si se trata de un máximo o un mínimo local.
b) Para a=-2, hállese el área del recinto acotado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x=0 y x=2.

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