Archivo de la etiqueta: Continuidad y derivabilidad

Problema 1086

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funcionesdurán

Sea f la función definida por:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3-ax^2&\text{si}&x\leq1\\\frac2{ax}&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

Estudiar su continuidad y su derivabilidad en función de a.

Problema 989

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Derivadas, funcionesdurán

a) Dada la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x&\text{si}&x<0\\x^2+ax&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$ , calcular a para que f sea derivable en x=0.

b) Hallar a, b y c para que la función $f(x)=ax^2+b\,\text{sen}(x)+c$ verifique $f(0)=0,~f'(0)=1\text{ y }f''(0)=2$ .

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Problema 954

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Teorema de Rolledurán

a) Enunciar el teorema de Rolle.

b) Indicar un punto en el que la función $f(x)=2x-\text{sen}(x)$ tome el valor 0, y demostrar (o bien usando el teorema del apartado previo o bien con algún otro razonamiento) que esta función sólo se anula en ese punto.

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Problema 886

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Integral racional, integrales, Integrales definidas, Recta tangentedurán

Dada la función $f(x)=\dfrac x{1+|x|}$ :

a) Estudia, en x=0, la continuidad y derivabilidad de f.
b) Determina los puntos de la gráfica de f en que la recta tangente es paralela a la recta $x-4y=0$ y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c) Calcula $\int_{-1}^0f(x)~dx$ .

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Problema 878

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Estremo relativo, funciones, integrales, Integrales definidas, Punto de inflexión, Recta tangentedurán

a) Calcula los valores de a y b para que la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+b&\text{si}&x<3\\\ln(x-2)&\text{si}&x\geq3\end{array}\right.$ sea derivable en x=3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta $x+3y=0$ .

b) Si $P(x)$ es un polinomio de tercer grado, con punto de inflexión en el punto (0,5) y un extremo relativo en el punto (1,1), calcula $\int_0^1P(x)~dx$ .

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Problema 866

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funciones, Puntos de corte, Representación de funciones, Teorema de Rolledurán

a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x^2+ax&\text{si}&x<1\\bx+c&\text{si}&x\geq1\end{array}\right.$

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2] y calcula el punto en el que se cumple el teorema.

b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola $y=x^2-2x$ y la recta $y=x$ . (Para dibujar la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y la concavidad y convexidad).

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Problema 862

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Optimización II, Selectividad Mat IICambio de variable, Continuidad y derivabilidad, funciones, Integrales definidas, optimizacióndurán

a) Calcula a y b para que la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$ sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta $2x+3y=8$ .

c) Calcula $\int_0^3x\sqrt{x+1}~dx$ .

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Problema 842

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, Integración por partes, integralesdurán

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Mediante integración por partes, demuestra que $\int\ln x~dx=x(\ln x-1)+C$ . Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación.
b) Si $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ , di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.
c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ .

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Problema 776

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSanálisis, Continuidad y derivabilidad, Curvatura, Monotonía, Punto de inflexión, Puntos críticosdurán

Sea la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{x-1}&\text{si}&x<0\\\\x^2+a&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Determine el valor del parámetro a para que f sea continua en todo su dominio. Para ese valor de a , estudie la derivabilidad de f.
b) Para a=−2, estudie la monotonía y curvatura de la función f. ¿Tiene algún punto
de inflexión?

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Problema 767

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIanálisis, Continuidad y derivabilidad, límites, Regla de L'Hôpitaldurán

Se sabe que la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , dada por

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)+ax+b&\text{si}&x\leq0\\\\\dfrac{\ln(x+1)}x&\text{si}&x>0\end{array}\right.$

(ln denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula a y b.

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