Archivo de la etiqueta: Continuidad y derivabilidad

Problema 886

Dada la función f(x)=\dfrac x{1+|x|}:

a) Estudia, en x=0, la continuidad y derivabilidad de f.
b) Determina los puntos de la gráfica de f en que la recta tangente es paralela a la recta x-4y=0 y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c) Calcula \int_{-1}^0f(x)~dx.

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Problema 878

a) Calcula los valores de a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+b&\text{si}&x<3\\\ln(x-2)&\text{si}&x\geq3\end{array}\right. sea derivable en x=3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta x+3y=0.

b) Si P(x) es un polinomio de tercer grado, con punto de inflexión en el punto (0,5) y un extremo relativo en el punto (1,1), calcula \int_0^1P(x)~dx.

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Problema 866

a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x^2+ax&\text{si}&x<1\\bx+c&\text{si}&x\geq1\end{array}\right.

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2] y calcula el punto en el que se cumple el teorema.

b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x^2-2x y la recta y=x. (Para dibujar la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y la concavidad y convexidad).

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Problema 862

a) Calcula a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right. sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta 2x+3y=8.

c) Calcula \int_0^3x\sqrt{x+1}~dx.

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Problema 842

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Mediante integración por partes, demuestra que \int\ln x~dx=x(\ln x-1)+C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación.
b) Si f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right., di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.
c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right..

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