Archivo de la etiqueta: Continuidad y derivabilidad

Problema 1728

a) Determina el valor de a y de b para que la siguiente función f sea derivable en todo \mathbb R

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+bx+2&\text{si}&x\leq1\\\\a\sqrt x-\dfrac b{x^2}&\text{si}&x>1\end{array}\right.

b) Comprueba si la función f(x)=x^2-4 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [3, 3].

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Problema 1590

Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac a{1-x}&\text{si}&x\leq0\\bx^2+2x+c&\text{si}&x>0\end{array}\right. donde a,~b,~c son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que f(x) sea continua en x=0, la función tenga un extremo relativo en x=1 y f'(-1)=-1. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.
b) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x).
c) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\int_1^2f(x)~dx.

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Problema 1520

a) Sea la función f(x)=ax^3-2x^2-x+b con a,~b\in\mathbb R. Determina razonadamente los valores de a y b para que la gráfica de la función pase por el punto (1, 2) y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-ax+1&x<0\\be^x&x\geq0\end{array}\right., con a,~b\in\mathbb R. Determina razonadamente los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 0.

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Problema 1400

Se considera la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)&\text{si}&x<0\\xe^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a (-\pi,2). Demuestre que existe un punto x_0\in[0,1] de manera que f(x_0)=2.
c) Calcule \int_{-\frac\pi2}^1f(x)~dx.

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Problema 1162

a) Si f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.,  diga qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.

b) Calcule el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de \left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right..

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