Archivo de la etiqueta: Continuidad y derivabilidad

Problema 1728

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Teorema de RolleeMatecs

a) Determina el valor de a y de b para que la siguiente función f sea derivable en todo $\mathbb R$

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+bx+2&\text{si}&x\leq1\\\\a\sqrt x-\dfrac b{x^2}&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

b) Comprueba si la función $f(x)=x^2-4$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−3, 3].

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Problema 1724

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Función a trozos, funcioneseMatecs

Dada la siguiente expresión de la función f, de la que se desconocen algunos valores:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a-x&\text{si}&x\leq1\\\\\dfrac bx-\ln x&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

Calcular los valores de a y b para que f sea derivable en todo su dominio.
Escribir la función resultante.

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Problema 1657

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funcioneseMatecs

Considerar la función a trozos siguiente:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-3x+2&\text{si}&x<0\\e^{ax}+1&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Calcular los valores de a para que f sea continua y derivable.
b) Para a=4 calcular el área comprendida entra la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x=1,~x=2$ e $y=0$ .

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Problema 1590

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSContinuidad y derivabilidad, Integrales definidas, límites, Test de la derivada segundaeMatecs

Dada la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac a{1-x}&\text{si}&x\leq0\\bx^2+2x+c&\text{si}&x>0\end{array}\right.$ donde $a,~b,~c$ son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que $f(x)$ sea continua en x=0, la función tenga un extremo relativo en x=1 y $f'(-1)=-1$ . Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.
b) Calcula, para los valores $a=1,~b=-2,~c=3;~\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ .
c) Calcula, para los valores $a=1,~b=-2,~c=3;~\int_1^2f(x)~dx$ .

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Problema 1520

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidadeMatecs

a) Sea la función $f(x)=ax^3-2x^2-x+b$ con $a,~b\in\mathbb R$ . Determina razonadamente los valores de a y b para que la gráfica de la función pase por el punto (1, 2) y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) Sea la función $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-ax+1&x<0\\be^x&x\geq0\end{array}\right.$ , con $a,~b\in\mathbb R$ . Determina razonadamente los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 0.

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Problema 1400

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Integrales definidas, MonotoníaeMatecs

Se considera la función

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)&\text{si}&x<0\\xe^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a $(-\pi,2)$ . Demuestre que existe un punto $x_0\in[0,1]$ de manera que $f(x_0)=2$ .
c) Calcule $\int_{-\frac\pi2}^1f(x)~dx$ .

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Problema 1265

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSContinuidad y derivabilidad, Función a trozos, funciones, Integrales definidas, MonotoníaeMatecs

Se considera la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-x+2&\text{si}&x\leq2\\\\-x^2+6x-8&\text{si}&2<x<4\\\\\dfrac{x-3}x&\text{si}&x\geq4\end{array}\right.$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en su dominio.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
c) Calcule $\displaystyle\int_2^3f(x)~dx$ .

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Problema 1264

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSAsíntotas, Continuidad y derivabilidad, funciones, MonotoníaeMatecs

Se considera la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2+\dfrac a{x-1}&\text{si}&x<0\\\\a+be^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Calcule los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en su dominio.
b) Para a=2 y b=-2, estudie la monotonía de la función f y calcule sus extremos relativos.
c) Para a=2 y b=-2, determine las ecuaciones de las asíntotas de f, si existen.

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Problema 1173

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, MonotoníaeMatecs

Sea la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x-1)^2&\text{si}&x\leq1\\(x-1)^3&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

a) Estudie su continuidad en [-4,4].
b) Analice su derivabilidad y crecimiento en [-4,4].
c) Determine si la función $g(x)=f'(x)$ está definida, es continua y es derivable en x=1.

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Problema 1162

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funcioneseMatecs

a) Si $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ , diga qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.

b) Calcule el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de $\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ .

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