Archivo de la etiqueta: Continuidad y derivabilidad

Problema 1400

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, , ,

Se considera la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)&\text{si}&x<0\\xe^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a (-\pi,2). Demuestre que existe un punto x_0\in[0,1] de manera que f(x_0)=2.
c) Calcule \int_{-\frac\pi2}^1f(x)~dx.

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Problema 1162

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, ,

a) Si f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.,  diga qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.

b) Calcule el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de \left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right..

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Problema 1153

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, ,

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

p1153

Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función f(x)=x^3-3x^2+2x+1 encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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Problema 886

Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, , , , ,

Dada la función f(x)=\dfrac x{1+|x|}:

a) Estudia, en x=0, la continuidad y derivabilidad de f.
b) Determina los puntos de la gráfica de f en que la recta tangente es paralela a la recta x-4y=0 y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c) Calcula \int_{-1}^0f(x)~dx.

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