Archivo de la etiqueta: Continuidad y derivabilidad

Problema 1265

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSContinuidad y derivabilidad, Función a trozos, funciones, Integrales definidas, Monotoníadurán

Se considera la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-x+2&\text{si}&x\leq2\\\\-x^2+6x-8&\text{si}&2<x<4\\\\\dfrac{x-3}x&\text{si}&x\geq4\end{array}\right.$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en su dominio.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
c) Calcule $\displaystyle\int_2^3f(x)~dx$ .

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Problema 1264

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSAsíntotas, Continuidad y derivabilidad, funciones, Monotoníadurán

Se considera la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2+\dfrac a{x-1}&\text{si}&x<0\\\\a+be^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Calcule los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en su dominio.
b) Para a=2 y b=-2, estudie la monotonía de la función f y calcule sus extremos relativos.
c) Para a=2 y b=-2, determine las ecuaciones de las asíntotas de f, si existen.

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Problema 1173

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Monotoníadurán

Sea la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x-1)^2&\text{si}&x\leq1\\(x-1)^3&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

a) Estudie su continuidad en [-4,4].
b) Analice su derivabilidad y crecimiento en [-4,4].
c) Determine si la función $g(x)=f'(x)$ está definida, es continua y es derivable en x=1.

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Problema 1162

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funcionesdurán

a) Si $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ , diga qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.

b) Calcule el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de $\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ .

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Problema 1153

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Continuidad y derivabilidad, funcionesdurán

Una empresa de cerámica quiere poner a la venta una baldosa cuadrada de 20 cm de lado pintada en dos colores, de manera que el área de cada color sea la misma y que si se ponen las baldosas una al lado de la otra se vea un dibujo continuo (figura 1).

p1153

Para hacerlo, la empresa utiliza en cada baldosa la función $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$ encuadrada entre los puntos de coordenadas (0,0), (0,2), (2,0) y (2,2), tal como se muestra en la figura 2, utilizando como unidad de medida el decímetro.

a) Justificar que, efectivamente, esta función permite juntar las baldosas de manera continua y derivable.
b) Justificar que esta función divide el cuadrado mencionado en dos partes que tienen el mismo área.

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Problema 1086

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funcionesdurán

Sea f la función definida por:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3-ax^2&\text{si}&x\leq1\\\frac2{ax}&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

Estudiar su continuidad y su derivabilidad en función de a.

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Problema 989

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Derivadas, funcionesdurán

a) Dada la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x&\text{si}&x<0\\x^2+ax&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$ , calcular a para que f sea derivable en x=0.

b) Hallar a, b y c para que la función $f(x)=ax^2+b\,\text{sen}(x)+c$ verifique $f(0)=0,~f'(0)=1\text{ y }f''(0)=2$ .

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Problema 954

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Teorema de Rolledurán

a) Enunciar el teorema de Rolle.

b) Indicar un punto en el que la función $f(x)=2x-\text{sen}(x)$ tome el valor 0, y demostrar (o bien usando el teorema del apartado previo o bien con algún otro razonamiento) que esta función sólo se anula en ese punto.

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Problema 886

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Integral racional, integrales, Integrales definidas, Recta tangentedurán

Dada la función $f(x)=\dfrac x{1+|x|}$ :

a) Estudia, en x=0, la continuidad y derivabilidad de f.
b) Determina los puntos de la gráfica de f en que la recta tangente es paralela a la recta $x-4y=0$ y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c) Calcula $\int_{-1}^0f(x)~dx$ .

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Problema 878

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, Estremo relativo, funciones, integrales, Integrales definidas, Punto de inflexión, Recta tangentedurán

a) Calcula los valores de a y b para que la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+b&\text{si}&x<3\\\ln(x-2)&\text{si}&x\geq3\end{array}\right.$ sea derivable en x=3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta $x+3y=0$ .

b) Si $P(x)$ es un polinomio de tercer grado, con punto de inflexión en el punto (0,5) y un extremo relativo en el punto (1,1), calcula $\int_0^1P(x)~dx$ .

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Problemas resueltos de Selectividad, EVAU, EBAU