Archivo de la etiqueta: Continuidad y derivabilidad

Problema 1825

Sea la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^3e^{-1/x^2}&\text{si}&x\neq0\\0&\text{si}&x=0\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f(x) en x = 0.
b) Estudie si f(x) presenta algún tipo de simetría par o impar.
c) Calcule la siguiente integral:

\displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}{x^6}~dx

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Problema 1774

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función como:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\cos x&\text{si}&x\leq0\\-x^2+ax+b&\text{si}&x>0\end{array}\right.

con a y b números reales.

a) Halla a y b para que f sea continua y derivable en x=0.
b) Para los valores anteriores de a y b analiza si f tiene un extremo relativo en x=0.
c) Halla el área encerrada por la función y el eje OX en el intervalo [-\frac\pi2,1].

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Problema 1590

Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac a{1-x}&\text{si}&x\leq0\\bx^2+2x+c&\text{si}&x>0\end{array}\right. donde a,~b,~c son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que f(x) sea continua en x=0, la función tenga un extremo relativo en x=1 y f'(-1)=-1. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.
b) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x).
c) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\int_1^2f(x)~dx.

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Problema 1520

a) Sea la función f(x)=ax^3-2x^2-x+b con a,~b\in\mathbb R. Determina razonadamente los valores de a y b para que la gráfica de la función pase por el punto (1, 2) y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-ax+1&x<0\\be^x&x\geq0\end{array}\right., con a,~b\in\mathbb R. Determina razonadamente los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 0.

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Problema 1400

Se considera la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)&\text{si}&x<0\\xe^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a (-\pi,2). Demuestre que existe un punto x_0\in[0,1] de manera que f(x_0)=2.
c) Calcule \int_{-\frac\pi2}^1f(x)~dx.

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