Archivo de la etiqueta: Derivadas

Problema 1788

Calcula la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado:

f(x)=\ln\sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{\text{sen}\,2x}}

g(x)=\left(\dfrac1x\right)^{-x}

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Problema 1561

Dada la función f(x)=\dfrac{ax^2-2}{b-x} donde ab son dos parámetros con valores reales.

a) Calcular el valor de los parámetros ab que verifican que f(-2)=2 y que f(x) sea continua en \mathbb R\setminus\{5\}. Escribir la función resultante f y calcular su derivada f‘.
b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función f si los parámetros toman los valores a=-1 y b=-3.

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Problema 1512

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, I(t), viene dada por la función I(t)=\left\{\begin{array}{ccc}ke^{2t}&\text{si}&t<1\\\frac{t^2}{3t^2+1}&\text{si}&t\geq1\end{array}\right., siendo k una constante real, t el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y t=1 el inicio de la vacunación.

a) Calcula el valor de k para que I(t) sea continua.
b) Calcula la proporción de personas infectadas cuando t\rightarrow\infty.
c) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=\frac12.
d) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=2.

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Problema 1415

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².

a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por 10\pi x^2+6\pi xy.
b) Si el volumen de la lata es 90\pi cm³ , determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

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