Archivo de la etiqueta: Derivadas

Problema 1788

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIDerivadas, funcioneseMatecs

Calcula la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado:

$f(x)=\ln\sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{\text{sen}\,2x}}$

$g(x)=\left(\dfrac1x\right)^{-x}$

Problema 1747

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIDerivadas, integrales, Integrales indefinidas, Método de integración por partes, Regla de BarroweMatecs

Considere la función $f(x)=(x+10)e^{2x}$ .

a) Calcule una primitiva $F(x)$ tal que $F(0)=0$ . Use la derivada para comprobar su solución.
b) Calcule $\int_0^5f(x)~dx$ .

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Problema 1679

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSContinuidad, Derivadas, funciones, Test de la derivada segundaeMatecs

Sean las funciones

$f(x)=\dfrac{x^2+4x+3}{2x-2}\qquad g(x)=2x^2+ax+1$

a) Estudie la continuidad de la función $f(x)$ y, en su caso, indique el tipo de discontinuidad.
b) Calcule el valor del parámetro a para que $g(x)$ tenga un mínimo en x = 1/2.
c) Calcule $g'(1)$ aplicando la definición de derivada, para el valor del parámetro a=-1.

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Problema 1671

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSAsíntotas, Derivadas, Extremos relativos, funciones, Puntos críticoseMatecs

Nos preguntamos por las propiedades de una función de la forma

$f(x)=\dfrac{x(x+b)}{x^2-1}$

a) ¿Para qué valores de b su gráfica tiene una sola asíntota vertical?
b) Estudia la existencia de extremos relativos de $f(x)$ si b=-2.

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Problema 1561

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Derivadas, Dominios, funcioneseMatecs

Dada la función $f(x)=\dfrac{ax^2-2}{b-x}$ donde a y b son dos parámetros con valores reales.

a) Calcular el valor de los parámetros a y b que verifican que $f(-2)=2$ y que $f(x)$ sea continua en $\mathbb R\setminus\{5\}.$ Escribir la función resultante f y calcular su derivada f‘.
b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función f si los parámetros toman los valores a=-1 y b=-3.

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Problema 1512

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, Derivadas, límiteseMatecs

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, $I(t)$ , viene dada por la función $I(t)=\left\{\begin{array}{ccc}ke^{2t}&\text{si}&t<1\\\frac{t^2}{3t^2+1}&\text{si}&t\geq1\end{array}\right.$ , siendo k una constante real, t el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y t=1 el inicio de la vacunación.

a) Calcula el valor de k para que $I(t)$ sea continua.
b) Calcula la proporción de personas infectadas cuando $t\rightarrow\infty.$
c) Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t=\frac12.$
d) Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante t=2.

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Problema 1440

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSÁreas por integración, Derivadas, funciones, Representación de funcioneseMatecs

a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)\qquad g(x)=x^3\cdot e^{2x^2}$

b) Represente gráficamente la parábola $h(x)=x^2+x+1$ , indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.

c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $h(x)=x^2+x+1$ , el eje de abscisas y las rectas $x=-\frac12$ y x=0.

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Problema 1415

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, optimización, Puntos críticos, Test de la derivada segundaeMatecs

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².

a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por $10\pi x^2+6\pi xy$ .
b) Si el volumen de la lata es $90\pi$ cm³ , determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

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Problema 1325

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSDerivadas, funciones, Punto de inflexión, Recta tangenteeMatecs

La función $f(x)=ax^3+bx^2+16x+c$ tiene un punto de inflexión en (1, 10) y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es 7. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros a, b y c.