Archivo de la etiqueta: Derivadas

Problema 1020

Un alumno asiste a una clase que dura 60 minutos. Se estima que la capacidad de atención de un alumno en cada instante de tiempo t viene dada por la función f(t)=-2t^2+120t+5, con t\in[0,60].

a) Calcula la capacidad de atención cuando lleva una hora de clase.
b) Halla el instante de tiempo t (en minutos) en el que la capacidad de atención es máxima. ¿Cuál es la capacidad de atención máxima?

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Problema 926

Los beneficios de una compañía en millones de euros, en sus primeros siete años, fueron estimados por la función B(x)=ax^3-3x^2+bx,~0\leq x\leq7, donde x indica el tiempo transcurrido en años desde su fundación.

a) Calcula los valores de ab sabiendo que la compañía tuvo unos beneficios máximos de 8 millones de euros en el segundo año.
b) Supongamos que a=1/4 y b=9. Determina cuándo la empresa no tuvo beneficios. Calcula \int_0^6B(x)~dx.

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Problema 874

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.

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Problema 870

a) Calcula, si existe, el valor de m para que \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}=3.

b) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x)=ax^3+bx^2+cx+d tenga un punto de inflexión en el punto (0,5) y la tangente a la gráfica en el punto (1,1) sea paralela al eje x.

c) Calcula \int_1^e\sqrt x\ln x~dx.

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Problema 858

a) Calcula: intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de f(x)=\dfrac{x-1}{x^2}.

b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x^2-4x y la recta y=x-4. (Para representar la parábola indica: puntos de corte con los ejes, vértice y curvatura).

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Problema 850

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de la función f(x)=x^2\ln x.
b) Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen O(0,0) y el punto P(1,3), uno de sus lados está sobre el eje x y otro sobre la tangente en P(1,3) a la gráfica de la parábola y=4-x^2. Se pide calcular las coordenadas del tercer vértice, dibujar el triángulo y calcular, por separado, el área de las dos regiones en las que el triángulo queda dividido por la parábola y=4-x^2.

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Problema 846

Considerese la función f(x)=x^2e^{-x}. Se pide:

a) Calcular los límites \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x).
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.
c) Calcular \int f(x)~dx.

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