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Problema 887

Dados los planos \alpha:~2x-2y+4z-7=0, \beta:\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda+3\mu\\y=5+\lambda+\mu\\z=4+\lambda-\mu\end{array}\right. y la recta r:\left\{\begin{array}{rl}x+2z-3&=0\\y-5&=0\end{array}\right.

a) Estudia la posición relativa de los planos α y β. Calcula la distancia entre ellos.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a α y contiene a la recta r.
c) Sean P y Q los puntos de corte de la recta r con los planos XY e YZ respectivamente. Calcula la distancia entre P y Q.

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Problema 879

Sea r la recta que pasa por los puntos P(1,0,5) y Q(5,2,3).

a) Calcula la distancia del punto A(5,-1,6) a la recta r.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a r y pasa por el punto A(5,-1,6).
c) Calcula el área del triángulo de vértices los puntos P(1,0,5), A(5,-1,6) y el punto de corte de la recta r con el plano \pi:~2x+y-z-3=0.

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Problema 871

Sea r la recta que pasa por los puntos P(9,4,1) y Q(1,1,1). Dada la recta s:~\frac{x-1}2=\frac y1=\frac{z-5}{-1}.

a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s. Calcula, si se cortan, el punto de corte.
b) Calcula, si existe, la ecuación implícita o general del plano que contiene a las rectas r y s.
c) Calcula la distancia del punto O(0,0,0) a la recta s.

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Problema 843

Se pide:

a) Calcular el ángulo del intervalo [0º,90º] que forman los vectores \vec u(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0) y \vec v(-\frac12,\frac{-1+\sqrt2}2,\frac1{\sqrt[4]2}).
b) Obtener la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1,-3,0) y es perpendicular a la recta r\equiv\left\{\begin{array}{rl}x-y+2z&=1\\y-z&=0\end{array}\right.
c) Calcular la distancia del punto Q(1,1,1) al plano \pi:~-x+y+z+4=0 y el punto simétrico de Q respecto a π.

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