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Problema 871

Sea r la recta que pasa por los puntos P(9,4,1) y Q(1,1,1). Dada la recta s:~\frac{x-1}2=\frac y1=\frac{z-5}{-1}.

a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s. Calcula, si se cortan, el punto de corte.
b) Calcula, si existe, la ecuación implícita o general del plano que contiene a las rectas r y s.
c) Calcula la distancia del punto O(0,0,0) a la recta s.

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Problema 843

Se pide:

a) Calcular el ángulo del intervalo [0º,90º] que forman los vectores \vec u(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0) y \vec v(-\frac12,\frac{-1+\sqrt2}2,\frac1{\sqrt[4]2}).
b) Obtener la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1,-3,0) y es perpendicular a la recta r\equiv\left\{\begin{array}{rl}x-y+2z&=1\\y-z&=0\end{array}\right.
c) Calcular la distancia del punto Q(1,1,1) al plano \pi:~-x+y+z+4=0 y el punto simétrico de Q respecto a π.

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Problema 719

Se dan la recta r:~\dfrac{x-1}4=\dfrac ya=\dfrac{z-1}{-1} y el plano \pi:~2x-y+bz=0, siendo a y b dos parámetros reales.
Obtener razonadamente:

a) El punto de intersección de la recta r y el plano π cuando a=-b=1.
b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando a=b=4.
c) La posición relativa de la recta r y del plano π en función de los valores de los parámetros a y b.

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Problema 711

Se desea unir un punto M situado en un lado de una calle, de 6 m de anchura, con el punto N situado en el otro lado de la calle, 18 m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un punto P, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto N. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M = ( 0 , 6 ) , P = (x , 0 ) y N = ( 18 , 0 ) . El cable MP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable PN es de 5 €/m.
Obtener razonadamente:

a) El costo total C de los dos cables en función de la abscisa x del punto P, cuando 0 ≤ x ≤ 18 .
b) El valor de x, con 0 ≤ x ≤ 18 , para el que el costo total C es mínimo.
c) El valor de dicho costo total mínimo.

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Problema 647

Se dan en el espacio la recta r:~\dfrac{x-\alpha}{-1}=\dfrac y{-4}=\dfrac z\beta y el plano \pi:~x+2y+3z=6. Obtener razonadamente:

a) La posición relativa de la recta r y el plano π en función de los parámetros reales α y β.
b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando α=6 y β=3.
c) La ecuación del plano que pasa por (0,0,0) y que no corta al plano π.

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