Archivo de la etiqueta: geometría

Problema 770

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIgeometría, Posiciones relativas, rectas y planoseMatecs

Considera las rectas $r\equiv~\dfrac{x-2}1=\dfrac{y-k}2=\dfrac z2$ y $s\equiv~\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-1}1=\dfrac{z-3}1$ .

a) Halla k sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.
b) Para k=1, halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

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Problema 766

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IICombinación lineal, Condición de paralelismo, Condición de perpendicularidad, geometría, vectoreseMatecs

Se considera los vectores $\vec u=(1,2,3),~\vec v=(1,-2,-1)\text{ y }\vec w=(2,\alpha,\beta)$ , donde α y β son números reales.

a) Determina los valores de α y β para los que $\vec w$ es ortogonal a los vectores $\vec u\text{ y }\vec v$ .
b) Determina los valores de α y β para los que $\vec w\text{ y }\vec v$ tienen la misma dirección.
c) Para α=8, determina el valor de β para el que $\vec w$ es combinación lineal de $\vec u\text{ y }\vec v$ .

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Problema 762

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IIÁreas, geometría, Producto escalar, Producto vectorial, vectoreseMatecs

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,0), B(1,0,2) y C(0,2,1).

a) Halla el área de dicho triángulo.
b) Calcula el coseno del ángulo en el vértice A.

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Problema 758

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, geometría, Posiciones relativas, rectas y planoseMatecs

Considera la recta $r\equiv~\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-2}3=\dfrac{z-1}1$ y los planos $\pi_1\equiv~x=0\text{ y }\pi_2\equiv~y=0$ .

a) Halla los puntos de la recta r que equidistan de los planos $\pi_1\text{ y }\pi_2$ .
b) Determina la posición relativa de la recta r y la recta intersección de los planos $\pi_1\text{ y }\pi_2$ .

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Problema 753

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores IIÁreas, geometría, Perímetro, rectas y planoseMatecs

Sean P, Q y R los puntos de intersección del plano de ecuación $x+4y+2z=4$ con los tres ejes de coordenadas OX, OY y OZ, respectivamente.

a) Calcule los puntos P, Q y R, y el perímetro del triángulo de vértices P, Q y R.
b) Calcular el área del triángulo de vértices P, Q y R.

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Problema 750

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIgeometría, Posiciones relativas, rectas y planoseMatecs

Considere la matriz $\begin{pmatrix}1&0&a-1\\1&a&1\\4&3a&1\end{pmatrix}$ , donde a es un parámetro real.

a) Encuentre los valores del parámetro a para los que la matriz es invertible.
b) Discutir la posición relativa de los planos

$\pi_1:~x+(a-1)z=0\\\pi_2:~x+ay+z=1\\\pi_3:~4x+3ay+z=3$

en función de los valores del parámetro a.

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Problema 747

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IICondición de paralelismo, geometría, Posiciones relativas, Teorema de Rouché-FröbeniuseMatecs

Considere los planos

$\pi_1:~2x+ay+z=5,~\pi_2:~x+ay+z=1,~\pi_3:~2x+(a+1)y+(a+1)z=0$

donde a es un parámetro real.

a) Estudiar para qué valores del parámetro a los tres planos se cortan en un punto.
b) Compruebe que para el caso a = 1 la interpretación geométrica del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos es la que se muestra en la siguiente imagen:

p747

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Problema 744

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIDistancias, geometría, rectas y planoseMatecs

Sean la recta $r:~\left\{\begin{array}{l}x=2\\y-z=1\end{array}\right.$ y el plano $\pi:~x-z=3$ .

a) Calcular la ecuación paramétrica de la recta que es perpendicular al plano π y que corta en el mismo punto en el que corta con la recta r.
b) Hallar los puntos de r que están a una distancia de $\sqrt8$ unidades del plano π.

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Problema 739

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIgeometría, Intersección, Recta perpendiculareMatecs

Un dron se encuentra en el punto P = (2, -3, 1) y queremos dirigirlo en línea recta hasta el punto más cercano del plano de ecuación $\pi:~3x+4z+15=0$ .

a) Calcular la ecuación de la recta, en forma paramétrica, que debe seguir el dron. ¿Qué distancia debe recorrer hasta llegar al plano?
b) Hallar las coordenadas del punto del plano donde llegará el dron.

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Problema 735

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIÁngulos, geometría, Intersección, Punto simétricoeMatecs

Dados el plano, $\pi\equiv~2x+3y-z=4$ , y las rectas $r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=0\\x+y+z&=2\end{array}\right.$ y $s\equiv~(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1,0,1)$ , con $\lambda\in\mathbb R$ , se pide:

a) Calcular el punto simétrico de P(1,2,3) respecto de π.
b) Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano π, que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s.
c) Calcular el ángulo que forman entre sí las rectas r y s.

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