Archivo de la etiqueta: Integración por partes

Problema 882

a) Calcula:

  1. \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}
  2. \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}

b) La derivada de una función f, que tiene dominio (0,∞), es f'(x)=1+\ln x. Determina la función f teniendo en cuenta que su gráfica pasa por el punto (1,4).

c) Determina, si existen, los máximos y los mínimos relativos de f.

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Problema 874

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.

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Problema 870

a) Calcula, si existe, el valor de m para que \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}=3.

b) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x)=ax^3+bx^2+cx+d tenga un punto de inflexión en el punto (0,5) y la tangente a la gráfica en el punto (1,1) sea paralela al eje x.

c) Calcula \int_1^e\sqrt x\ln x~dx.

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Problema 846

Considerese la función f(x)=x^2e^{-x}. Se pide:

a) Calcular los límites \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x).
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.
c) Calcular \int f(x)~dx.

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Problema 842

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Mediante integración por partes, demuestra que \int\ln x~dx=x(\ln x-1)+C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación.
b) Si f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right., di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.
c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right..

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