Archivo de la etiqueta: Integrales definidas

Problema 1859

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfunciones, integrales, Integrales definidas, Integrales indefinidas, Regla de BarroweMatecs

Se considera la función $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$ .

a) Calcula una primitiva de $f(x)$ , que pase por el punto (−1, 0). (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable $t=1-x^2$ )
b) Calcula $\displaystyle\int_0^1f(x)~dx$

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Problema 1757

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Integrales definidas, Representación de funcioneseMatecs

Sean las funciones $f(x)=x^2-4$ y $g(x)=\frac12x^2-2$ .

a) Represente la región plana encerrada por las funciones $f(x)$ y $g(x)$ .
b) Calcule el área de la región anterior.

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Problema 1751

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, Función a trozos, funciones, Integrales definidas, Máximos y mínimos, Puntos críticoseMatecs

Sea la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\text{sen}(x)}{2x}&\text{si}&x<0\\\\\dfrac{a-x^2}{2+x}&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Determine, si existe, el valor de a que haga a la función continua en x=0.
b) Calcule el valor de a para que f tenga un extremo relativo en x=2. ¿Es este extremo un máximo o mínimo local?
c) Sea $g(x)$ una función integrable, si $\int_0^3g(x)~dx=4$ y $\int_2^3g(x)~dx=6$ . ¿Cuánto vale $\int_0^2g(x)~dx$ ?

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Problema 1744

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, funciones, Integral racional, Integrales definidas, Monotonía, Puntos críticoseMatecs

Considere la función:

$f(x)=\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$

a) Determine las asíntotas de la función, si existen.
b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.
c) Determine la integral $\int_1^3f(x)~dx$ .

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Problema 1649

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSfunciones, Integrales definidas, Máximos y mínimos, MonotoníaeMatecs

Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función $B(t)=t^3-18t^2+81t-3$ si $0\leq t\leq10$ , (t en años)

a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?
b) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios
c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?
d) Calcule $\int_1^2B(t)~dt$ .

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Problema 1590

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSContinuidad y derivabilidad, Integrales definidas, límites, Test de la derivada segundaeMatecs

Dada la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac a{1-x}&\text{si}&x\leq0\\bx^2+2x+c&\text{si}&x>0\end{array}\right.$ donde $a,~b,~c$ son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que $f(x)$ sea continua en x=0, la función tenga un extremo relativo en x=1 y $f'(-1)=-1$ . Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.
b) Calcula, para los valores $a=1,~b=-2,~c=3;~\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ .
c) Calcula, para los valores $a=1,~b=-2,~c=3;~\int_1^2f(x)~dx$ .

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Problema 1432

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfunciones, Integrales definidas, Recta tangenteeMatecs

Considera la función $F:~[0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ definida por

$\displaystyle F(x)=\int_0^x(2t+\sqrt t)~dt$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x=1.

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Problema 1426

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSfunciones, Integrales definidas, Integrales indefinidas, Recta tangenteeMatecs

Dada la función $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ :

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x=0.
b) Calcular $\int\frac{2x}{x^2+1}~dx$ .
c) Calcular $\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}~dx$ .

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Problema 1410

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSfunciones, Integrales definidas, Monotonía, Puntos críticoseMatecs

Se considera la función real de variable real, definida $f(x)=(x^2-3)e^x$ .

a) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y determine sus extremos relativos indicando si corresponden a máximos o mínimos.
b) Calcule

$\displaystyle\int_1^2e^{-x}f(x)~dx$

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Problema 1400

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Integrales definidas, MonotoníaeMatecs

Se considera la función

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)&\text{si}&x<0\\xe^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.$

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a $(-\pi,2)$ . Demuestre que existe un punto $x_0\in[0,1]$ de manera que $f(x_0)=2$ .
c) Calcule $\int_{-\frac\pi2}^1f(x)~dx$ .

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