Archivo de la etiqueta: límites

Problema 1740

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, , , ,

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), donde a > 0 y b > 0 y además el punto (a, b), está situado en la curva de ecuación:

y=\dfrac1{x^2}+9

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine:

\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx

c) Determine el valor de la constante k para que se verifique que:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=2

Seguir leyendo Problema 1740 →

Problema 1590

Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSS, , ,

Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac a{1-x}&\text{si}&x\leq0\\bx^2+2x+c&\text{si}&x>0\end{array}\right. donde a,~b,~c son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que f(x) sea continua en x=0, la función tenga un extremo relativo en x=1 y f'(-1)=-1. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.
b) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x).
c) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\int_1^2f(x)~dx.

Seguir leyendo Problema 1590 →

Problema 1589

Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSS, ,

Un grupo de jóvenes emprendedores valoran abrir una empresa y, para ello, han encargado un estudio de mercado en el que estimaron que los beneficios para los próximos años, en cientos de miles de euros, vendrán dados por la función:

B(t)=\dfrac{2t-6}{t+4}

donde t representa los años transcurridos desde la apertura. Los emprendedores quieren saber:

a) ¿En qué intervalo la empresa tendrá pérdidas?
b) En qué momento t\in[3,10] se alcanza el máximo beneficio y a cuántos euros asciende su valor. Justifica la respuesta.
c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener un beneficio de 150.000 euros?
d) En un horizonte infinito de tiempo, ¿existe límite para el beneficio? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?

Seguir leyendo Problema 1589 →

Problema 1512

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, ,

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, I(t), viene dada por la función I(t)=\left\{\begin{array}{ccc}ke^{2t}&\text{si}&t<1\\\frac{t^2}{3t^2+1}&\text{si}&t\geq1\end{array}\right., siendo k una constante real, t el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y t=1 el inicio de la vacunación.

a) Calcula el valor de k para que I(t) sea continua.
b) Calcula la proporción de personas infectadas cuando t\rightarrow\infty.
c) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=\frac12.
d) Calcula la velocidad de crecimiento de I(t) para el instante t=2.

Seguir leyendo Problema 1512 →