Archivo de la etiqueta: límites

Problema 1847

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, Indeterminaciones, límiteseMatecs

Calcula el siguiente límite:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\Big[\sqrt{3x^2-2}-(\sqrt3x+5)\Big]$

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Problema 1840

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIFunción a trozos, funciones, límites, Regla de L'Hôpital, Representación de funcioneseMatecs

a) Calcule los límites $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x\cos x}{\text{sen}\,x}$ y $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}x\ln x$ , donde $\ln x$ es el logaritmo neperiano de x.

b) Dibuje la gráfica de una función f continua y no negativa en el intervalo [0,3] tal que: $f(0)=0,~f(3)=0,~f''>0$ en el intervalo (0,1), $f''<0$ en el intervalo (2,3) y f es constante en el intervalo (1,2).

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Problema 1740

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIfunciones, Integral racional, límites, Puntos críticos, Test de la derivada segundaeMatecs

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), donde a > 0 y b > 0 y además el punto (a, b), está situado en la curva de ecuación:

$y=\dfrac1{x^2}+9$

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine:

$\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx$

c) Determine el valor de la constante k para que se verifique que:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=2$

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Problema 1733

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIlímites, Regla de L'HôpitaleMatecs

Calcula razonadamente los siguientes límites:

$\displaystyle a)~\lim_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{2e^{x-1}}{x+1}\right)^{\frac x{x-1}}\qquad b)\lim_{x\rightarrow-1}\dfrac{-e^{x^2-1}-x}{x^2+4x+3}$

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Problema 1590

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSContinuidad y derivabilidad, Integrales definidas, límites, Test de la derivada segundaeMatecs

Dada la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac a{1-x}&\text{si}&x\leq0\\bx^2+2x+c&\text{si}&x>0\end{array}\right.$ donde $a,~b,~c$ son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que $f(x)$ sea continua en x=0, la función tenga un extremo relativo en x=1 y $f'(-1)=-1$ . Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.
b) Calcula, para los valores $a=1,~b=-2,~c=3;~\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ .
c) Calcula, para los valores $a=1,~b=-2,~c=3;~\int_1^2f(x)~dx$ .

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Problema 1589

📖Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSSfunciones, límites, Máximos y mínimoseMatecs

Un grupo de jóvenes emprendedores valoran abrir una empresa y, para ello, han encargado un estudio de mercado en el que estimaron que los beneficios para los próximos años, en cientos de miles de euros, vendrán dados por la función:

$B(t)=\dfrac{2t-6}{t+4}$

donde t representa los años transcurridos desde la apertura. Los emprendedores quieren saber:

a) ¿En qué intervalo la empresa tendrá pérdidas?
b) En qué momento $t\in[3,10]$ se alcanza el máximo beneficio y a cuántos euros asciende su valor. Justifica la respuesta.
c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener un beneficio de 150.000 euros?
d) En un horizonte infinito de tiempo, ¿existe límite para el beneficio? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?

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Problema 1528

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIlímites, Regla de L'HôpitaleMatecs

Calcular $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-x-\cos(3x)}{\text{sen}^2(x)}$ .

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Problema 1521

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, Dominios, límiteseMatecs

a) Calcula razonadamente el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{e^{x-2}-1}{2x-4}.$

b) Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2&\text{si}&x<1\\\frac{2x-1}{x-2}&\text{si}&1\leq x\leq3\\2e^x&\text{si}&x>3\end{array}\right.$

determina razonadamente su dominio y estudia su continuidad. En los puntos en los que no lo sea indica razonadamente el tipo de discontinuidad.

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Problema 1512

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIContinuidad, Derivadas, límiteseMatecs

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, $I(t)$ , viene dada por la función $I(t)=\left\{\begin{array}{ccc}ke^{2t}&\text{si}&t<1\\\frac{t^2}{3t^2+1}&\text{si}&t\geq1\end{array}\right.$ , siendo k una constante real, t el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y t=1 el inicio de la vacunación.

a) Calcula el valor de k para que $I(t)$ sea continua.
b) Calcula la proporción de personas infectadas cuando $t\rightarrow\infty.$
c) Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t=\frac12.$
d) Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante t=2.