Archivo de la etiqueta: Máximos y mínimos

Problema 1307

El coste unitario de fabricación de un producto (en euros) depende del tamaño de la producción a través de la siguiente fórmula:

C(x)=\dfrac1{10}(x^2-16x+100)

donde x\in[2,15] es el tamaño de la producción (en miles de unidades) y C es el coste unitario (en euros). Calcular:

a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario?
b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción x\in[2,15] el coste unitario es inferior a 4 euros?
c) ¿Para qué tamaño de la producción x\in[2,15] se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes?

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Problema 1302

Una empresa farmacéutica lanza al mercado un nuevo fármaco que se distribuye en cajas de seis unidades. La relación entre el precio de cada caja y el beneficio mensual obtenido en euros viene dada por la función

B(x)=-x^2+16x-55

donde x es el precio de venta de una caja. Se pide:

a) ¿Qué beneficio obtiene cuando vende cada caja a 6 euros?
b) ¿Entre qué valores debe fijar el precio de venta de cada caja para obtener beneficios?
c) Calcula a qué precio ha de vender cada caja para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?
d) ¿Entre qué valores el beneficio crece y entre qué valores el beneficio decrece?

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Problema 1299

Dada la función f(x)=\dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}, se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados de los apartados anteriores.

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Problema 1293

Una empresa quiere fabricar un producto nuevo. Encomienda un estudio de mercado que determina que la evolución de las ventas en los próximos seis años seguirá la función f(t)=t^3-12t^2+36t, donde f(t) representa la cantidad de miles de unidades vendidas en función del tiempo t\in[0,6] expresado en años.

a) ¿Cuántas unidades venderá el primer año? Salvo el instante inicial (t = 0), ¿se prevé que habrá algún otro año en que no se producirá ninguna venta?
b) ¿En qué año se producirá el máximo número de ventas y cuántos productos se habrán vendido ese año?

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Problema 1291

El beneficio de una empresa, expresado en millones de euros, es dado por la función siguiente, en la que x indica el número de años que han pasado desde que comenzó a funcionar:

B(x)=\dfrac{5x+20}{x^2+9}-\dfrac{20}9

a) ¿Cuál es el beneficio en el momento en que la empresa empieza a funcionar? En qué momento la empresa pasa de tener beneficios a tener pérdidas?
b) ¿En qué momento consigue la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo?

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Problema 1282

El número de personas (en miles) que visitan cada año un parque temático viene dado por la función P(t)=\dfrac{180t}{t^2+9},~t\geq0 en donde t es el tiempo transcurrido en años desde su apertura en el año 2010 ( t = 0 ).

a) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento del número de visitantes.
b) ¿En qué año recibió el mayor número de visitantes? ¿A cuánto ascienden? Razone las respuestas.
c) ¿A partir de qué año el número de visitantes será inferior a 18000 personas? ¿Qué ocurrirá con el número de visitantes con el paso del tiempo? Razone las respuestas.

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Problema 1221

Considera la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R dada por

y=f(x)=x^3-3x

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=-1.
b) Haz un esbozo de la gráfica de y=f(x) y calcula: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta y=2.

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