Archivo de la etiqueta: Máximos y mínimos

Problema 1751

Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\text{sen}(x)}{2x}&\text{si}&x<0\\\\\dfrac{a-x^2}{2+x}&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Determine, si existe, el valor de a que haga a la función continua en x=0.
b) Calcule el valor de a para que f tenga un extremo relativo en x=2. ¿Es este extremo un máximo o mínimo local?
c) Sea g(x) una función integrable, si \int_0^3g(x)~dx=4 y \int_2^3g(x)~dx=6. ¿Cuánto vale \int_0^2g(x)~dx?

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Problema 1656

El beneficio B(x), en euros, que obtiene una empresa por la venta de x unidades de un determinado producto se representa por la función:

B(x)=-x^2+300x-16100\qquad x\geq0

a) Calcular el beneficio al vender 110 unidades.
b) Representa gráficamente la función.
c) ¿Cuántas unidades se han de vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo?
d) ¿Cuántas unidades se ha de vender para tener un beneficio igual a 3900 euros? ¿Y para tener un beneficio superior a 3900 euros?

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Problema 1649

Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función B(t)=t^3-18t^2+81t-3 si 0\leq t\leq10, (t en años)

a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?
b) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios
c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?
d) Calcule \int_1^2B(t)~dt.

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Problema 1648

La cantidad de CO_2 (en millones de toneladas) emitidas a la atmósfera por una determinada región a lo largo del año 2020, viene dada por la función

C(t)=\left\{\begin{array}{cc}5-\frac t3&0\leq t<6\\\\\frac14t^2-4t+18&6\leq t\leq12\end{array}\right.

siendo t el tiempo transcurrido en meses desde comienzo del año.

a) Estudie en qué períodos se ha producido un aumento/disminución de la cantidad de CO_2 emitida a la atmósfera.
b) ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima de CO_2 emitidas a la atmósfera a lo largo del año 2020? ¿En qué momentos se produjeron?
c) Represente la gráfica de la función C(t) teniendo en cuenta el estudio realizado en los apartados anteriores.

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Problema 1643

Desde el inicio de 1980, la capacidad (cantidad de gas que puede extraerse) de una explotación gasística, expresada en miles de metros cúbicos, viene dada por la función

f(x)=36600+1500x-15x^2

donde la variable x representa el tiempo en años transcurridos desde el inicio de 1980.

a) Calcula la capacidad de la explotación al inicio de 1980.
b) Calcula cuánto tiempo ha de pasar desde el inicio de 1980 para que la capacidad alcance su valor máximo, y cuál es dicho valor máximo (en miles de metros cúbicos).
c) Si el beneficio en euros por metro cúbico de gas disminuye con los años según la función g(x)=3-\frac{3x^2}{12100}, calcula cuánto tiempo debe pasar para que la explotación deje de ser rentable y cuál será la capacidad (en miles de metros cúbicos) de la explotación en ese momento.

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Problema 1642

Dada la función f(x)=\frac{1-x^2}{x^2-4}, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiera.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores.

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Problema 1628

Una fábrica estima que el beneficio mensual, en miles de euros, por cada tonelada de confeti vendida está dada por la función f(x)=\frac{-0.2x^2+5x-20}x donde x representa el número de  toneladas de confeti vendidas.

a) Determine en qué intervalo de valores se debe encontrar la variable x para que la fábrica no tenga pérdidas.
b) Calcule la cantidad de toneladas de confeti que proporciona el beneficio máximo y diga cuál es ese beneficio.

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Problema 1614

Se localiza un compuesto nocivo en un río obteniéndose que su proporción durante cinco días consecutivos de análisis de muestras sigue la función: N(x)=\frac1{100}(-4x^4+128x^2+54) con x=días y (1\leq x\leq5).

a) ¿Cuál es la proporción el tercer día ?
b) Determina que día se obtiene el máximo y que día se obtiene el mínimo.
c) ¿A qué valor ascienden ambos?

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Problema 1589

Un grupo de jóvenes emprendedores valoran abrir una empresa y, para ello, han encargado un estudio de mercado en el que estimaron que los beneficios para los próximos años, en cientos de miles de euros, vendrán dados por la función:

B(t)=\dfrac{2t-6}{t+4}

donde t representa los años transcurridos desde la apertura. Los emprendedores quieren saber:

a) ¿En qué intervalo la empresa tendrá pérdidas?
b) En qué momento t\in[3,10] se alcanza el máximo beneficio y a cuántos euros asciende su valor. Justifica la respuesta.
c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener un beneficio de 150.000 euros?
d) En un horizonte infinito de tiempo, ¿existe límite para el beneficio? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?

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