Archivo de la etiqueta: Máximos y mínimos

Problema 1392

Sea la siguiente función f(x)=\frac x{x^2+1}.

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.
b) Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.
c) Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta y=\frac x2.
d) Obtén la primitiva de la función f, sabiendo que en x=0 toma el valor 1.

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Problema 1385

Sea la función y=x^3-3x^2.

a) Calcule los puntos de corte con los ejes.
b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcule los máximos y mínimos.
c) Dibuje el recinto limitado por la función y el eje OX.
d) Calcule el área de dicho recinto.

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Problema 1356

Una empresa que ofrece servicios en internet tiene, en el día de más actividad del, año una demanda de datos que viene dada por la función:

D(t)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{10}t^2-\dfrac65t+4&\text{si}&0\leq t\leq8\\\\\dfrac{-36}t+6&\text{si}&8<t\leq24\end{array}\right.

donde t es la hora del día (de 0 a 24) y D(t) es la demanda de datos a esa hora expresada en cientos de Gigabits por segundo.

a) Representa gráficamente la función. ¿Hubo una demanda continua de datos a lo largo del día? En caso negativo, ¿a qué hora hubo un salto instantáneo de la demanda y cuál fue la magnitud del salto?
b) Calcula los valores de las demandas mínima y máxima absolutas y cuando se alcanzaron.

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Problema 1352

Considerar la función f tal que su primera derivada es f'(x)=x^3+bx+4, donde b es un parámetro real.

a) Determinar el valor de b para que f tenga un extremo relativo en x=-1 y razonar si se trata de un máximo o de un mínimo.
b) Suponiendo que b=1, encontrar una primitiva de f'(x).
c) Utilizar el resultado anterior para encontrar f(x) con b=1 sabiendo que f(2)=-1.

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Problema 1347

En una empresa se pueden producir hasta 500 mesas cada mes. La función de costes en relación con el número q de mesas producida es C(q)=\frac{q^3}{50}+8q+40. Si q es el número de mesas producidas, el coste medio de cada mesa se expresa mediante la función Q(q)=\frac{C(q)}q.

a) Cacular el coste medio de cada mesa si la empresa produce 5. ¿Y si produce 20?
b) Determinar cuántas mesas hay que producir para que el coste medio sea mínimo. Justificar que se trata efectivamente de un mínimo y calcular este coste medio.

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Problema 1340

El gasto G (en euros) por el consumo de energía eléctrica en un taller durante las 8 horas de funcionamiento varía de acuerdo con la función:

G(t)=2t^3-27t^2+84t+60\qquad(0\leq t\leq8)

donde t es el tiempo transcurrido en horas. Se pide, justificando las respuestas, determinar a qué horas se producen los gastos máximo y mínimo y los valores de dichos gastos máximo y mínimo.

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Problema 1331

Las botellas de agua vendidas por un hipermercado (que abre de 10 de la mañana a 4 de la tarde) durante una ola de calor viene dado por la función C(t)=2t^3-27t^2+120t, con 1\leq t\leq6 siendo t= 1 la primera hora desde la apertura y t= 6 la última hora hasta el cierre y C en cientos de botellas.

a) ¿En que intervalos de tiempo las ventas aumentan? ¿Y en cuáles disminuye?
b) ¿Cuándo se produce la máxima venta? ¿Y la mínima?
c) ¿Cuántas botellas se venden en esos dos casos?

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Problema 1313

A la hora de estudiar la relación entre el beneficio mensual de una empresa y cantidad de producto fabricado, se representa por f(x) el beneficio mensual, en millones de euros, si se han fabricado x toneladas de producto ese mes. Si en un mes se fabrican como mucho 100 toneladas de producto, el beneficio mensual se puede considerar que es \frac1{900}(-x^2+100x-1600) millones de euros, mientras que si se fabrican más de 100 toneladas de producto, el beneficio viene dado por 1-\frac{120}x millones de euros.

a) Obtén la expresión de la función f . Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [0, ∞).
b) ¿Qué cantidad debe fabricar para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Qué cantidad hay que fabricar para que el beneficio sea positivo?

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Problema 1307

El coste unitario de fabricación de un producto (en euros) depende del tamaño de la producción a través de la siguiente fórmula:

C(x)=\dfrac1{10}(x^2-16x+100)

donde x\in[2,15] es el tamaño de la producción (en miles de unidades) y C es el coste unitario (en euros). Calcular:

a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario?
b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción x\in[2,15] el coste unitario es inferior a 4 euros?
c) ¿Para qué tamaño de la producción x\in[2,15] se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes?

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