Archivo de la etiqueta: Monotonía

Problema 1400

Se considera la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)&\text{si}&x<0\\xe^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.
b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a (-\pi,2). Demuestre que existe un punto x_0\in[0,1] de manera que f(x_0)=2.
c) Calcule \int_{-\frac\pi2}^1f(x)~dx.

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Problema 1392

Sea la siguiente función f(x)=\frac x{x^2+1}.

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.
b) Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.
c) Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta y=\frac x2.
d) Obtén la primitiva de la función f, sabiendo que en x=0 toma el valor 1.

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Problema 1385

Sea la función y=x^3-3x^2.

a) Calcule los puntos de corte con los ejes.
b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcule los máximos y mínimos.
c) Dibuje el recinto limitado por la función y el eje OX.
d) Calcule el área de dicho recinto.

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Problema 1374

Sea la función f(x)=x^3+ax^2+bx+1:

a) Determinar los valores de a y b de forma que la función tenga un extremo relativo en x=1 y la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x=0 tenga de pendiente m=1.
b) Si en la función anterior a=-2 y b=-4, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como sus extremos relativos.

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Problema 1331

Las botellas de agua vendidas por un hipermercado (que abre de 10 de la mañana a 4 de la tarde) durante una ola de calor viene dado por la función C(t)=2t^3-27t^2+120t, con 1\leq t\leq6 siendo t= 1 la primera hora desde la apertura y t= 6 la última hora hasta el cierre y C en cientos de botellas.

a) ¿En que intervalos de tiempo las ventas aumentan? ¿Y en cuáles disminuye?
b) ¿Cuándo se produce la máxima venta? ¿Y la mínima?
c) ¿Cuántas botellas se venden en esos dos casos?

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Problema 1307

El coste unitario de fabricación de un producto (en euros) depende del tamaño de la producción a través de la siguiente fórmula:

C(x)=\dfrac1{10}(x^2-16x+100)

donde x\in[2,15] es el tamaño de la producción (en miles de unidades) y C es el coste unitario (en euros). Calcular:

a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario?
b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción x\in[2,15] el coste unitario es inferior a 4 euros?
c) ¿Para qué tamaño de la producción x\in[2,15] se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes?

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Problema 1302

Una empresa farmacéutica lanza al mercado un nuevo fármaco que se distribuye en cajas de seis unidades. La relación entre el precio de cada caja y el beneficio mensual obtenido en euros viene dada por la función

B(x)=-x^2+16x-55

donde x es el precio de venta de una caja. Se pide:

a) ¿Qué beneficio obtiene cuando vende cada caja a 6 euros?
b) ¿Entre qué valores debe fijar el precio de venta de cada caja para obtener beneficios?
c) Calcula a qué precio ha de vender cada caja para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?
d) ¿Entre qué valores el beneficio crece y entre qué valores el beneficio decrece?

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