Archivo de la etiqueta: Monotonía

Problema 1744

Considere la función:

f(x)=\dfrac{x-1}{(x+1)^2}

a) Determine las asíntotas de la función, si existen.
b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.
c) Determine la integral \int_1^3f(x)~dx.

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Problema 1666

La tasa de paro (expresada en porcentaje sobre la población en edad de trabajar) registrada en cierta región europea durante los últimos 72 trimestres se ha comportado de acuerdo a la siguiente función:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac1{125}(4x^2-80x+1025)&\text{si}&0\leq x<35\\\\\frac1{625}(13x^2-1560x+54300)&\text{si}&35\leq x\leq72\end{array}\right.

donde x representa el trimestre.

a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, explicar si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.
b) ¿En qué trimestre alcanzó la tasa de paro su mínimo? ¿Cuándo alcanzó el máximo? ¿Cuáles fueron los valores de las tasas de paro mínima y máxima?
c) ¿En qué trimestre se superó por primera vez el 10% de paro?

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Problema 1649

Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función B(t)=t^3-18t^2+81t-3 si 0\leq t\leq10, (t en años)

a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?
b) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios
c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?
d) Calcule \int_1^2B(t)~dt.

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Problema 1648

La cantidad de CO_2 (en millones de toneladas) emitidas a la atmósfera por una determinada región a lo largo del año 2020, viene dada por la función

C(t)=\left\{\begin{array}{cc}5-\frac t3&0\leq t<6\\\\\frac14t^2-4t+18&6\leq t\leq12\end{array}\right.

siendo t el tiempo transcurrido en meses desde comienzo del año.

a) Estudie en qué períodos se ha producido un aumento/disminución de la cantidad de CO_2 emitida a la atmósfera.
b) ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima de CO_2 emitidas a la atmósfera a lo largo del año 2020? ¿En qué momentos se produjeron?
c) Represente la gráfica de la función C(t) teniendo en cuenta el estudio realizado en los apartados anteriores.

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Problema 1642

Dada la función f(x)=\frac{1-x^2}{x^2-4}, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiera.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores.

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Problema 1637

Suponga que la temperatura del agua del mar en una zona concreta es dada por la función f(x)=\frac{x^2+5x+4}{x^2+4}, donde x representa la profundidad en metros negativos (por ejemplo, f(–5) representa el valor de la temperatura del agua en grados Celsius a 5 metros de profundidad).

a) ¿Cuál es la temperatura del agua en la superficie? A qué profundidades la temperatura es de cero grados? ¿Hacia qué valor tiende la temperatura cuando bajamos a mucha profundidad?
b) Calcule a qué profundidad la temperatura es más baja y cuál es el valor de ésta temperatura mínima.

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Problema 1633

Considere la función real de variable real f(x)=4x^3+ax^2-2.

a) Determine el valor del parámetro real a para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = –1.
b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) cuando a=12. Indique también los puntos en los que hay extremos relativos y clasifíquelos.

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Problema 1628

Una fábrica estima que el beneficio mensual, en miles de euros, por cada tonelada de confeti vendida está dada por la función f(x)=\frac{-0.2x^2+5x-20}x donde x representa el número de  toneladas de confeti vendidas.

a) Determine en qué intervalo de valores se debe encontrar la variable x para que la fábrica no tenga pérdidas.
b) Calcule la cantidad de toneladas de confeti que proporciona el beneficio máximo y diga cuál es ese beneficio.

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