Archivo de la etiqueta: Monotonía

Problema 1225

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, Dominios, funciones, Integral racional, Integrales indefinidas, Monotoníadurán

Considera la función $f(x)=\frac3{x^2-x}$ .

a) Calcula su dominio y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) Calcula una primitiva de f.
c) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función $y=f(x)$ , el eje OX y las rectas x=2 y x=3.

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Problema 1228

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIDominios, funciones, Integración por partes, integrales, Integrales definidas, Monotoníadurán

Consideremos la función $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ , donde ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:

a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función $f(x)$ .
b) Calcule el valor de la integral: $\int_1^ef(x)~dx$

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Problema 1221

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIÁreas por integración, funciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Puntos de corte, Recta tangente, Representación de funcionesdurán

Considera la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ dada por

$y=f(x)=x^3-3x$

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=-1.
b) Haz un esbozo de la gráfica de $y=f(x)$ y calcula: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta y=2.

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Problema 1214

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Puntos críticos, Teorema de Bolzanodurán

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x)=e^x(x^2-x+1)$ .

b) Justifique si existe algún valor de x tal que $f(x)=2$ .

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Problema 1205

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Puntos críticos, Recta normal, Recta tangentedurán

Sea la función $f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}$ .

a) Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función f y clasifícalos.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x=0.

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Problema 1188

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IICurvatura, funciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Punto de inflexión, Puntos críticos, Puntos de corte, Recta tangente, Representación de funcionesdurán

Sea la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , $f(x)=x^3-6x^2+9x$ .

a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.

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Problema 1182

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIDominios, funciones, Monotonía, Recta tangentedurán

Se considera la siguiente función $f(x)=\ln(2x+1)$ .

a) Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Halle la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa $x=\frac12$ .

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Problema 1173

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIContinuidad y derivabilidad, funciones, Monotoníadurán

Sea la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x-1)^2&\text{si}&x\leq1\\(x-1)^3&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

a) Estudie su continuidad en [-4,4].
b) Analice su derivabilidad y crecimiento en [-4,4].
c) Determine si la función $g(x)=f'(x)$ está definida, es continua y es derivable en x=1.

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Problema 1159

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, Monotonía, optimizacióndurán

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener:

a) La expresión del área $A(x)$ del triángulo, en función de la longitud x del tercer lado.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $A(x),~0\leq x\leq20$ .
c) La longitud x del tercer lado para que el área del triángulo sea máximo y el valor de este área.

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Problema 1149

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva $y=4-x^2$ de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

p1149

a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función $f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}$ nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problemas de selectividad resueltos